In parole semplici — Un sottostante non possiede una sola volatilità implicita. Ogni opzione collega un prezzo, uno strike e una scadenza a un parametro di modello. Disponendo questi punti nello spazio si ottiene una superficie; smile e skew descrivono alcune sue sezioni.
La superficie di volatilità implicita è una rappresentazione delle IV
ricavate dalle opzioni sullo stesso sottostante a un timestamp comune. Le due
coordinate contrattuali principali sono strike K e scadenza T:
σ_imp = σ_imp(t₀; K, T | modello, input, prezzo)
Spesso lo strike viene normalizzato rispetto al forward della scadenza:
k = ln(K / F₀,T)
oppure sostituito da una coordinata di delta. La scelta modifica l'aspetto e la dinamica della superficie. Un'immagine senza assi, timestamp e convenzioni può essere gradevole ma non è una misura riproducibile.
Smile, skew e smirk
Per una singola scadenza si osserva una sezione lungo strike o moneyness.
- Smile indica una forma curva in cui le ali mostrano IV superiori alla zona centrale, con una certa simmetria.
- Skew indica una pendenza o asimmetria: un lato della distribuzione degli strike quota IV più alte dell'altro.
- Smirk è un termine informale usato per una forma asimmetrica che combina pendenza e curvatura.
Il lessico non è completamente uniforme fra mercati e data vendor. “Skew
negativo” può indicare IV crescenti verso strike più bassi; un altro report può
definire il segno attraverso IV call − IV put, ottenendo un numero negativo
per lo stesso fenomeno. Formula, delta, tipo di opzione e segno devono
accompagnare l'etichetta.
Il volatility skew non coincide con lo skew statistico di una serie di rendimenti. Il primo è una relazione fra prezzi impliciti lungo opzioni; il secondo è un momento o coefficiente stimato da osservazioni. Neppure il Cboe SKEW Index è sinonimo di qualsiasi skew: è un indice con sottostante, metodologia e orizzonte propri.
Coordinate: strike, moneyness e delta
Confrontare lo stesso strike numerico tra sottostanti o scadenze diverse può essere poco informativo. Le coordinate più comuni rispondono a domande specifiche:
| Coordinata | Che cosa mantiene | Limite principale |
|---|---|---|
Strike K |
contratto esatto | perde comparabilità quando spot o forward si muovono |
K/S |
distanza relativa dallo spot | trascura carry e differenze per scadenza |
K/F o log-moneyness |
distanza dal forward | richiede una curva forward coerente |
| Delta | sensibilità o convenzione di mercato | dipende da modello, IV e definizione del delta |
Una superficie “25 delta” richiede di specificare se il delta è spot o forward, premium-adjusted o no e quale modello lo calcola. Lo strike associato a 25 delta può cambiare mentre cambiano spot, tempo e IV. Per questo sticky strike e sticky delta sono ipotesi di scenario, non leggi del mercato.
La seconda sezione fondamentale è la struttura a termine: si mantiene una coordinata coerente e si attraversano le scadenze. Smile e term structure sono quindi due tagli della stessa superficie.
La superficie osservata è sparsa
Le borse quotano contratti discreti, non un telo continuo. Per ogni serie possono esistere bid, ask, quantità, ultimo prezzo e settlement. Molti nodi lontani dal denaro hanno scambi rari, bid nullo o spread bid-ask ampio. La IV viene calcolata soltanto dopo aver scelto un prezzo e invertito un modello.
Una pipeline documentata dovrebbe conservare:
- universo di strike e scadenze;
- timestamp e fonte di ogni quotazione;
- bid, ask, mid e regola per gli ultimi scambi;
- forward, tassi, dividendi e calendario;
- modello per tipo di contratto e stile di esercizio;
- filtri su zero bid, crossed market, stale quote e arbitraggio evidente;
- metodo di interpolazione e zone di extrapolazione;
- versione della superficie e controlli di qualità.
Il mid non è sempre un prezzo eseguibile. Una superficie bid e una superficie ask possono delimitare meglio l'incertezza economica di una superficie mid. L'interpolazione riempie gli spazi fra nodi; non crea informazione negoziata e non elimina il rischio di modello.
Coerenza prima della levigatezza
Le condizioni di non arbitraggio vengono controllate anzitutto nello spazio dei prezzi. Per opzioni europee comparabili, il prezzo di una call rispetto allo strike deve rispettare monotonicità e convessità sotto le ipotesi pertinenti. Lungo la scadenza si osservano prezzi e varianza totale, tenendo conto di carry, stile e settlement. Un fit matematicamente liscio può ancora violare queste relazioni o attraversare quotazioni non eseguibili.
La parità put-call collega call e put
della stessa scadenza e strike. Sotto condizioni europee coerenti, call e put
non forniscono due IV indipendenti allo stesso K,T: differenze rilevanti
possono segnalare input di carry incoerenti, quote asincrone, stile americano o
problemi di dati, non due “opinioni” separate sulla volatilità.
Misure locali di pendenza e curvatura
Due convenzioni frequenti, da dichiarare esplicitamente, sono:
risk reversal 25Δ = IV call 25Δ − IV put 25Δ
butterfly 25Δ = 0,5 × (IV call 25Δ + IV put 25Δ) − IV ATM
Il risk reversal riassume un'asimmetria fra ali; il butterfly confronta la media delle ali con il centro. Non descrivono tutta la superficie e possono avere definizioni diverse per prodotto.
Esempio neutrale
Per una scadenza a 45 giorni, allo stesso timestamp:
| Punto | IV mid |
|---|---|
| Put 25 delta | 28% |
| ATM forward | 22% |
| Call 25 delta | 20% |
Con le formule sopra, il risk reversal è 20% − 28% = −8 punti di volatilità;
il butterfly è 0,5 × (20% + 28%) − 22% = 2 punti. La sezione è inclinata verso
la put wing e presenta curvatura rispetto all'ATM. Non segue che il sottostante
scenderà né che comprare put sia conveniente: i numeri descrivono prezzi
relativi entro modello, coordinate e bid-ask scelti.
Se a 120 giorni il risk reversal è −4 punti, la pendenza varia anche lungo la
scadenza. Parlare soltanto di “skew del sottostante” nasconde questa terza
dimensione.
Superficie e rischio della posizione
Il vega di una gamba misura una risposta locale a uno shock della sua IV. Una posizione con più strike e scadenze è esposta a movimenti non paralleli: livello, pendenza, curvatura e term structure possono cambiare insieme. Uno scenario che aggiunge due punti a tutta la superficie è utile come controllo, ma non copre rotazioni, schiacciamento delle ali o shock concentrati su una scadenza.
Anche delta e gamma dipendono dalla superficie usata nel repricing. Quando il sottostante si muove, non è noto in anticipo se la superficie resterà fissa per strike, per delta o seguirà un'altra dinamica. Il P&L osservato combina movimento del sottostante, passare del tempo, superficie, carry, hedge ed esecuzione.
Errori tipici
- Chiamare “IV del titolo” un singolo numero senza strike e scadenza.
- Confondere volatility skew e skew dei rendimenti. Sono misure diverse.
- Interpretare la superficie interpolata come interamente negoziata. I nodi reali sono discreti e hanno bid-ask.
- Mescolare coordinate. Strike fisso, delta fisso e moneyness fissa generano sezioni differenti.
- Attribuire un significato universale al segno dello skew. La convenzione può essere opposta.
- Usare quote asincrone o stale. La forma risultante può non essere mai esistita sul mercato.
- Trasformare l'ala più cara in una previsione direzionale. Prezzo della protezione, premi e domanda non equivalgono all'esito futuro.
Checklist
- Quali sottostante, stile, settlement e moltiplicatore definiscono l'universo?
- Tutti i punti appartengono allo stesso timestamp?
- Quale coordinata usa ciascun asse?
- Quali modello e input trasformano prezzo in IV?
- Bid, ask e mid producono superfici materialmente diverse?
- Quali quote sono state filtrate e perché?
- Interpolazione ed extrapolazione rispettano relazioni di prezzo coerenti?
- Il segno di risk reversal e skew è dichiarato?
- Gli scenari includono movimenti non paralleli della superficie?
Fonti
- CME Group, Understanding Options: a real-world example on the impact that skew can have on an options position — differenze di IV fra strike e relazione put-call.
- CME Group, Learn about Convexity — smile, skew e curvatura delle IV.
- Options Industry Council, Understanding Volatility and Options Skew — coordinate delta, term structure e skew.
- Cboe, The Cboe SKEW Index — metodologia e storia della curva di IV SPX.
- Cboe, S&P 500 SMILE Index Methodology — convenzioni su put, call e delta in una metodologia pubblicata.
- Cboe, The S&P 500 Spot Volatility Index — esempio di misure riferite a porzioni specifiche della superficie.
- Fischer Black e Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 1973 — modello classico e principio di replica.
- The Options Clearing Corporation, Characteristics and Risks of Standardized Options — caratteristiche e rischi dei contratti standardizzati.