A chi serve questa voce — A chi gestisce opzioni e vuole capire perché un hedge basato sul delta smette di essere neutrale quando il sottostante si muove.
Il gamma misura la variazione locale del delta rispetto al prezzo del sottostante. È la derivata seconda del valore dell'opzione:
Gamma = ∂Delta / ∂S = ∂²V / ∂S²Se un'opzione ha delta 0,40 e gamma 0,03 per un movimento di una unità del
sottostante, un aumento di circa una unità porta, nella sola approssimazione
locale, il delta verso 0,43. Il calcolo non dice quale sarà il delta dopo uno
shock ampio: gamma stesso cambia con mercato, tempo e volatilità.
Unità e scala
Gamma non è un numero puro in ogni rappresentazione. Se delta è espresso in
unità equivalenti di sottostante e S in euro o dollari per unità, gamma indica
la variazione del delta per un movimento di una unità monetaria del
sottostante. Un sistema può invece mostrarlo:
- per punto o per centesimo di movimento;
- per contratto oppure per singola opzione;
- per un movimento percentuale dell'1%;
- come cash gamma, dollar gamma o P&L di gamma per uno shock scelto;
- già moltiplicato per quantità, moltiplicatore e prezzo.
Due colonne chiamate “gamma” possono quindi differire per fattori molto grandi. Il report deve dichiarare denominatore, moltiplicatore, valuta, quantità e shock di normalizzazione. Per una posizione:
gamma di posizione = quantità × moltiplicatore × gamma unitarioSe gli strumenti hanno sottostanti o valute diverse, la somma richiede una mappatura coerente dei fattori; l'addizione dei numeri grezzi non produce una misura economica verificabile.
Segno: opzione long e posizione short
Una long call o long put vanilla presenta normalmente gamma positivo nei modelli standard: il suo delta aumenta quando sale il sottostante. La stessa opzione venduta ha gamma negativo perché il valore della posizione è l'opposto. La frase “le opzioni hanno gamma positivo” è quindi incompleta se si parla di portafogli: descrive il contratto dal lato long e non il segno della posizione.
Prodotti esotici, barrier, digitali o payoff composti possono mostrare profili più complessi e discontinuità vicino a livelli contrattuali. Anche per le vanilla, il gamma aggregato di uno spread dipende da quantità, strike, scadenze e segni delle gambe. Il nome della strategia non basta a determinarlo.
Gamma nel P&L locale
Una Taylor approximation che mantiene fermi gli altri fattori scrive:
ΔV ≈ Delta × ΔS + ½ × Gamma × (ΔS)²Il termine quadratico è positivo per gamma positivo e negativo per gamma negativo, a parità delle altre ipotesi. Non è però un profitto garantito: volatilità implicita, tempo, tassi, dividendi, smile, gap e costi cambiano nello stesso intervallo. Per movimenti ampi diventano importanti termini di ordine superiore e una rivalutazione completa del portafoglio.
La formula rende visibile anche la scala. Se lo shock è espresso in euro,
gamma deve essere coerente con euro al quadrato; se lo shock è percentuale,
serve la versione normalizzata corrispondente. Dimenticare il fattore ½ o
mescolare gamma per punto e shock percentuale produce un errore materiale.
Gamma e gestione del delta hedge
Un portafoglio delta-neutral al momento t₀ non resta automaticamente neutrale.
Con gamma diverso da zero, il delta si sposta quando cambia il sottostante.
Ribilanciare il sottostante può riportarlo verso il target, ma comporta:
- frequenza decisionale e soglie di intervento;
- spread, commissioni, slippage e market impact;
- rischio che un gap salti la zona di ribilanciamento;
- basis fra sottostante spot, future e strumento usato per l'hedge;
- errori di modello e ritardi nei dati;
- variazioni simultanee di vega e theta.
L'espressione “gamma scalping” descrive una famiglia di procedure di ribilanciamento, non una fonte automatica di profitto. Il risultato dipende dal percorso realizzato del sottostante, dalla volatilità implicita pagata o incassata, dai costi e dalle regole dell'hedge.
Dove tende a concentrarsi
Per vanilla standard, gamma è spesso maggiore in valore assoluto vicino allo strike e può crescere avvicinandosi alla scadenza per opzioni prossime all'at-the-money. Non è una legge sufficiente per descrivere ogni contratto: superficie di volatilità, tassi, dividendi, stile ed eventuali barriere modificano il profilo. Vicino alla scadenza una piccola variazione del sottostante può produrre un forte cambiamento del delta e rendere fragile un hedge discreto.
L'open interest per strike non rivela il gamma netto del mercato. Non mostra chi è long o short, quali posizioni sono coperte, come sono distribuite fra clienti e dealer o quale modello viene usato. Per stimare un'esposizione gamma servono ipotesi aggiuntive, che devono essere dichiarate come tali.
Errore tipico — Trasformare l'open interest di uno strike in “dealer gamma” con segno certo. L'OI conta contratti aperti, non la proprietà o la copertura delle due parti.
Checklist
- Gamma è unitario, per contratto, cash o normalizzato per percentuale?
- Quali quantità, moltiplicatore, valuta e segno sono inclusi?
- Lo shock del sottostante usa punti o percentuali?
- Quale modello e superficie di volatilità generano la misura?
- Come cambia gamma negli scenari di prezzo e tempo pertinenti?
- Quali costi e gap limitano il ribilanciamento del delta?
- Il report separa dati osservati da ipotesi sul posizionamento altrui?
Fonti
- CME Group, Options Gamma — The Greeks.
- Cboe Options Institute, Learning the Greeks: An Expert's Perspective.
- Fischer Black e Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, 1973.
- Basel Committee on Banking Supervision, MAR20 — Standardised approach: general provisions and structure — distinzione regolamentare fra delta, vega e curvature risk.
- The Options Clearing Corporation, Characteristics and Risks of Standardized Options.