Parità put-call e posizioni sintetiche

In parole semplici — Una call comprata e una put venduta, con stesso sottostante, strike e scadenza, producono a scadenza il payoff di un forward long allo strike. Se due portafogli promettono gli stessi flussi nelle stesse condizioni, il principio di non arbitraggio ne collega i valori oggi.

La parità put-call non è una previsione sul prezzo futuro. È una relazione di replica fra strumenti. La forma esatta dipende da sottostante, flussi, finanziamento, stile di esercizio, settlement e convenzione del contratto. Usare la formula più breve senza verificare queste condizioni può trasformare un controllo di coerenza in un confronto scorretto.

La visuale ricompone gli stessi flussi terminali con strumenti diversi e mostra dove entrano dividendi, tassi, stile americano e costi.

L'identità dei payoff

Per call e put europee con stesso sottostante, strike K e scadenza T:

payoff call a T = max(S_T − K, 0)
payoff put a T  = max(K − S_T, 0)

payoff call − payoff put = S_T − K

La differenza fra long call e long put produce quindi il payoff di un forward long con prezzo di consegna K. L'identità vale in ogni stato a scadenza:

Stato a `T`	Call	Put con segno short	Totale
`S_T > K`	`S_T − K`	`0`	`S_T − K`
`S_T = K`	`0`	`0`	`0`
`S_T < K`	`0`	`−(K − S_T)`	`S_T − K`

Il fatto che i payoff coincidano non rende identici margine, liquidità, esercizio, flussi intermedi o trattamento operativo. La replica economica va distinta dalla perfetta intercambiabilità dei contratti.

Formula spot senza e con dividendi

Indichiamo con C e P i valori odierni delle opzioni europee, S₀ lo spot, r il tasso composto continuamente, q il dividend yield continuo e T il tempo in anni.

Per un sottostante senza dividendi:

C − P = S₀ − K e^(−rT)

Con dividend yield continuo:

C − P = S₀ e^(−qT) − K e^(−rT)

S₀ e^(−qT) rappresenta il valore del sottostante prepagato al netto dei flussi distribuiti sotto questa convenzione; K e^(−rT) è il valore attuale dello strike pagato a scadenza. Se sono previsti dividendi cash discreti noti, una forma didattica è:

C − P = S₀ − PV(dividendi) − K e^(−rT)

Questa scrittura richiede che importi, date e trattamento dei dividendi siano coerenti col contratto. Dividendi incerti, stock loan, ritenute e corporate action possono rendere insufficiente un input semplificato.

Esempio neutrale

Supponiamo:

S₀ = 100;
K = 100;
T = 0,5 anni;
r = 5% e q = 2%, composti continuamente.

Allora:

S₀ e^(−qT) ≈ 100 e^(−0,01) ≈ 99,00
K e^(−rT)  ≈ 100 e^(−0,025) ≈ 97,53
C − P ≈ 1,47

Una call a 7,20 e una put a 5,73 rispettano approssimativamente la relazione. Imporre C = P perché spot e strike sono entrambi 100 ignorerebbe carry e dividendi. Il calcolo non afferma che S_T sarà sopra 100: riconcilia prezzi odierni sotto le ipotesi dichiarate.

Forma forward e opzioni su futures

Se F₀,T è il forward coerente con la scadenza:

C − P = e^(−rT) × (F₀,T − K)

La forma evidenzia che call meno put replica un forward, non una previsione. Per opzioni europee su un future, una relazione analoga usa il prezzo futures pertinente:

C − P = e^(−rT) × (Futures₀,T − K)

Materiali didattici su opzioni futures mostrano talvolta la forma abbreviata C + K = Futures + P. Il fattore di sconto può essere omesso per la convenzione dell'esempio, per grandezze portate a scadenza o per particolari modalità di premio e margine. Prima di applicarla occorre leggere specifiche, unità di quotazione, scadenza dell'opzione rispetto al future e settlement.

Un'opzione può scadere in un future che ha ancora vita residua. In quel caso il sottostante della parità è quel contratto future, non automaticamente lo spot dell'attività fisica o finanziaria.

Posizioni sintetiche

Dall'identità terminale derivano repliche utili per comprendere il rischio:

long forward = long call + short put
long call    = long put + long forward
long put     = long call + short forward

Per replicare il valore del sottostante senza dividendi occorre aggiungere al long forward il bond che paga K a scadenza:

S₀ = C − P + K e^(−rT)

Con dividendi, il lato replicato è il sottostante prepagato al netto dei flussi fino a T; per ottenere l'intera esperienza economica dello spot bisogna includere i dividendi. Espressioni come “synthetic stock” sono quindi scorciatoie che richiedono una scheda dei flussi.

Conversion e reversal combinano opzioni, sottostante e finanziamento per controllare differenze rispetto alla parità. Nel mercato reale non basta osservare prezzi mid: tutte le gambe devono essere eseguibili nelle quantità richieste, e prestito titoli, capitale e settlement devono restare disponibili per l'intera operazione.

Quando l'uguaglianza europea non si trasferisce

La formula esatta presuppone esercizio europeo e flussi replicabili. Per opzioni americane, l'esercizio anticipato introduce un diritto aggiuntivo. Il valore di tale diritto può dipendere da dividendi, tassi, moneyness e costi di finanziamento; la semplice uguaglianza europea non è in generale valida.

Altri limiti operativi includono:

restrizioni o costo elevato del prestito titoli;
tassi di finanziamento e remunerazione della liquidità differenti;
bid-ask, commissioni, imposte e impatto di mercato;
opzioni e sottostante osservati in timestamp non sincronizzati;
rischio di esercizio e controparte;
differenze di settlement, valuta, moltiplicatore o deliverable;
margini e liquidazioni non simmetrici fra le gambe;
limiti di posizione e indisponibilità dello strike desiderato.

Con questi attriti la parità diventa una fascia di coerenza economica, non un singolo punto arbitrabile da chiunque. Una differenza più piccola dei costi totali non è un profitto privo di rischio.

Parità e superficie di volatilità

Call e put europee dello stesso strike e scadenza condividono una relazione di prezzo. Se vengono invertite con modello e input coerenti, la loro IV dovrebbe essere riconciliabile. Una differenza può derivare da bid-ask, quote asincrone, forward o dividendi errati, stile americano e filtri diversi.

La superficie di volatilità spesso usa opzioni OTM: put sotto il forward e call sopra il forward. Il passaggio fra le due ali richiede comunque una parità coerente. Non è corretto interpretare ogni differenza grezza fra premi put e call come skew: strike, forward, tassi e dividendi spiegano parte della relazione prima della volatilità.

Errori tipici

Usare call e put con strike o scadenze diversi. La replica terminale non coincide.
Dimenticare valore temporale del denaro e dividendi. C − P = S − K è soltanto una forma a scadenza o sotto ipotesi molto restrittive.
Applicare l'uguaglianza europea alle americane. L'esercizio anticipato modifica il valore.
Chiamare il forward implicito una previsione. È una relazione di prezzo condizionata al carry.
Valutare l'arbitraggio ai mid. Acquisti avvengono all'ask e vendite al bid, oltre agli altri costi.
Dire che una sintetica è identica allo spot. Dividendi, margine, settlement e diritti contrattuali possono differire.
Ignorare moltiplicatori e quantità. Un'apparente replica unitaria può lasciare esposizione residua.

Checklist

Call e put hanno stesso sottostante, strike, scadenza, stile e deliverable?
La formula usa spot, forward o future?
Tassi, dividendi, prestito titoli e calendario sono coerenti?
I premi sono pagati upfront o soggetti a un'altra convenzione?
I prezzi sono sincronizzati ed eseguibili sul lato corretto?
La posizione sintetica replica payoff terminale o anche flussi intermedi?
Esercizio anticipato e assegnazione modificano il confronto?
Costi, margine, capitale e settlement chiudono davvero ogni esposizione?

Fonti

Options Industry Council, Put/Call Parity — relazione spot, ipotesi, conversion, reversal e sintetiche.
CME Group, Put-Call Parity — parità per opzioni sullo stesso future, strike e scadenza.
CME Group, CME Options Workshop — forma forward e valore attuale della differenza F − K.
Fischer Black e Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 1973 — fonte primaria sul principio di replica e non arbitraggio.
The Options Clearing Corporation, Characteristics and Risks of Standardized Options — esercizio, assegnazione, settlement e rischi contrattuali.
Options Industry Council, Option Price Behavior — prezzi relativi, valore intrinseco e parità.
Cboe Options Institute, Options Definitions & Glossary — stile americano/europeo, settlement e nozioni contrattuali.