En termes simples — Un call acheté et un put vendu, de même sous-jacent, strike et échéance, produisent à l’échéance le payoff d’un forward long au strike. Des portefeuilles aux mêmes flux sont reliés aujourd’hui par le principe de non-arbitrage.
La parité put-call n’est pas une prévision du prix futur. C’est une relation de réplication. Sa forme dépend du sous-jacent, des flux, du financement, du style d’exercice, du règlement et des conventions. Employer la formule la plus courte sans vérifier ces conditions transforme un contrôle de cohérence en comparaison incorrecte.
Identité des payoffs
Pour un call et un put européens portant sur le même sous-jacent, le même
strike K et la même échéance T :
payoff call à T = max(S_T − K, 0)
payoff put à T = max(K − S_T, 0)
payoff call − payoff put = S_T − K
La combinaison d’un call long et d’un put court réplique donc le payoff d’un
forward long au prix de livraison K. Si S_T > K, le call apporte
S_T − K et le put zéro. Si S_T < K, le call vaut zéro et le put court vaut
−(K − S_T). Dans les deux cas, le total est S_T − K.
L’égalité des payoffs ne rend pas identiques marge, liquidité, exercice, flux intermédiaires ou traitement opérationnel. Réplication économique et parfaite interchangeabilité des contrats doivent rester distinctes.
Formule spot sans et avec dividendes
Notons C et P les valeurs actuelles des options, S₀ le spot, r le taux
continu, q le rendement de dividende continu et T le temps en années. Sans
dividendes :
C − P = S₀ − K e^(−rT)
Avec dividende continu :
C − P = S₀ e^(−qT) − K e^(−rT)
Pour des dividendes cash discrets connus, une écriture pédagogique est
C − P = S₀ − PV(dividendes) − K e^(−rT). Elle exige des montants, dates et
conventions cohérents. Dividendes incertains, prêt de titres, retenues et
corporate actions peuvent rendre l’approximation insuffisante.
Exemple : S₀ = 100, K = 100, T = 0,5, r = 5 % et q = 2 %. Alors
S₀e^(−qT) ≈ 99,00, Ke^(−rT) ≈ 97,53, donc C − P ≈ 1,47. Un call à 7,20
et un put à 5,73 respectent approximativement la relation. Imposer C = P
parce que spot et strike valent tous deux 100 ignorerait taux et dividendes.
Forme forward et options sur futures
Si F₀,T est le forward cohérent avec l’échéance :
C − P = e^(−rT) × (F₀,T − K)
La formule montre que call moins put réplique un forward, pas une prévision. Pour des options sur futures européennes, une relation analogue emploie le future pertinent :
C − P = e^(−rT) × (Futures₀,T − K)
Certains supports écrivent C + K = Futures + P, en omettant le facteur
d’actualisation selon la convention du produit ou de l’exemple. Avant usage,
il faut vérifier paiement de la prime, unité de cotation, échéance de l’option,
future livré et règlement. Une option peut expirer dans un future encore en
vie : le sous-jacent de la parité est alors ce future, pas automatiquement le
spot physique.
Positions synthétiques
Les identités terminales donnent :
long forward = long call + short put
long call = long put + long forward
long put = long call + short forward
Pour répliquer le spot sans dividendes, le forward long est complété par un
placement qui verse K à l’échéance : S₀ = C − P + K e^(−rT). Avec
dividendes, la réplication vise un sous-jacent prépayé net des flux ; reproduire
l’expérience économique complète exige de réintégrer ces dividendes.
Les expressions « synthetic stock », conversion et reversal sont donc des raccourcis qui demandent une fiche de flux. Dans le marché réel, observer des mid ne suffit pas : toutes les jambes doivent être exécutables dans les bonnes quantités et emprunt de titres, capital et règlement doivent rester disponibles jusqu’au terme.
Style américain et frictions
L’égalité exacte suppose un exercice européen et des flux réplicables. Les options américaines ajoutent le droit d’exercice anticipé. Sa valeur dépend notamment des dividendes, taux, moneyness et coûts de financement ; la simple égalité européenne ne s’y transpose pas en général.
Les frictions incluent borrow rare ou coûteux, taux de financement différents, bid-ask, commissions, fiscalité, impact de marché, timestamps asynchrones, risque d’exercice, devise, multiplicateur, marge et limites de position. La parité devient alors une bande de cohérence économique, pas un point que tout intervenant peut arbitrer. Un écart inférieur au coût total n’est pas un profit sans risque.
Parité et surface d’IV
Call et put européens du même strike et de la même échéance sont liés en prix. Inversés avec modèle et paramètres cohérents, leurs IV doivent être réconciliables. Une différence peut venir du spread, de cotations asynchrones, d’un forward ou dividende erroné, du style américain ou de filtres différents.
La surface d’IV utilise souvent les puts OTM sous le forward et les calls OTM au-dessus. Le raccordement des deux ailes exige une parité cohérente. Une différence brute de primes put et call ne mesure pas automatiquement le skew : strike, forward, taux et dividendes expliquent d’abord une partie de la relation.
En contrôle de données, on calcule donc la relation sur des cotations synchronisées et sur les bons côtés du marché. On vérifie ensuite multiplicateurs, devise, calendrier de règlement et forward implicite. Une anomalie persistante devient un diagnostic à examiner, pas automatiquement une opération disponible : le coût de toutes les jambes et la possibilité de les maintenir jusqu’au terme restent déterminants.
Erreur fréquente — Appliquer `C − P = S − K` à des options américaines ou de dates différentes, puis appeler arbitrage un écart calculé aux mid. Les conditions du contrat et les coûts sont constitutifs de la relation.
Références
- Options Industry Council, Put/Call Parity — relation spot, hypothèses et synthétiques.
- CME Group, Put-Call Parity — parité des options portant sur le même future, strike et terme.
- CME Group, CME Options Workshop — forme forward et valeur actuelle de
F − K. - Fischer Black et Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, 1973 — principe de réplication et non-arbitrage.
- The Options Clearing Corporation, Characteristics and Risks of Standardized Options — exercice, assignation, règlement et risques.
- Options Industry Council, Option Price Behavior — prix relatifs, valeur intrinsèque et parité.
- Cboe Options Institute, Options Definitions & Glossary — styles, règlement et notions contractuelles.