Paridade put-call e posições sintéticas em opções

Em palavras simples — Uma call comprada e uma put lançada, com o mesmo ativo-objeto, strike e vencimento, produzem no vencimento o payoff de um forward comprado naquele strike. Portfólios com os mesmos fluxos sob as mesmas condições têm valores ligados pelo princípio de não arbitragem.

A paridade put-call não prevê preço futuro. É uma relação de replicação. A forma depende do ativo, fluxos, financiamento, estilo, liquidação e convenção. Aplicar a fórmula curta sem essas condições transforma controle de coerência em comparação errada.

A figura recompõe fluxos terminais com instrumentos diferentes e mostra onde entram dividendos, taxas, estilo americano e custos.

Identidade dos payoffs

Para call e put europeias com mesmo ativo, strike K e vencimento T:

payoff da call em T = max(S_T − K, 0)
payoff da put em T  = max(K − S_T, 0)
payoff da call − payoff da put = S_T − K

Long call mais short put gera o payoff de um forward long com entrega a K em qualquer estado:

Estado em `T`	Call	Put com sinal short	Total
`S_T > K`	`S_T − K`	`0`	`S_T − K`
`S_T = K`	`0`	`0`	`0`
`S_T < K`	`0`	`−(K − S_T)`	`S_T − K`

Payoffs iguais não tornam iguais margem, liquidez, exercício, fluxos intermediários ou operação. Replicação econômica não é intercambialidade perfeita dos contratos.

Fórmula spot sem e com dividendos

Use C e P para valores atuais das opções europeias, S₀ para spot, r para taxa contínua, q para dividend yield contínuo e T para anos.

Sem dividendos:

C − P = S₀ − K e^(−rT)

Com dividend yield contínuo:

C − P = S₀ e^(−qT) − K e^(−rT)

S₀ e^(−qT) representa o ativo pré-pago líquido dos fluxos; K e^(−rT) é o valor presente do strike. Com dividendos discretos conhecidos:

C − P = S₀ − PV(dividendos) − K e^(−rT)

Valores e datas dos dividendos devem corresponder ao contrato. Dividendos incertos, aluguel de ações, impostos e eventos societários tornam um input simplificado insuficiente.

Exemplo: S₀ = 100, K = 100, T = 0,5, r = 5% e q = 2%, ambos contínuos:

S₀ e^(−qT) ≈ 99,00
K e^(−rT)  ≈ 97,53
C − P ≈ 1,47

Call a 7,20 e put a 5,73 respeitam aproximadamente a relação. Impor C = P porque spot e strike são 100 ignora carry e dividendos. O cálculo reconcilia preços atuais; não afirma onde estará S_T.

Forma forward e opções sobre futuros

Se F₀,T é o forward coerente:

C − P = e^(−rT) × (F₀,T − K)

Para opções europeias sobre futuros, a relação usa o contrato futuro adequado:

C − P = e^(−rT) × (Futuros₀,T − K)

Materiais didáticos mostram às vezes C + K = Futuros + P. O desconto pode estar omitido pela convenção, por grandezas levadas ao vencimento ou por regras específicas de prêmio e margem. Verifique unidades, vencimento da opção e do futuro e liquidação. Uma opção pode vencer entregando posição em futuro que continua vivo; o ativo da paridade é esse futuro, não o spot físico.

Posições sintéticas

Da identidade terminal:

long forward = long call + short put
long call    = long put + long forward
long put     = long call + short forward

Para replicar o ativo sem dividendos, soma-se ao forward um título que paga K em T:

S₀ = C − P + K e^(−rT)

Com dividendos, replica-se o ativo pré-pago líquido dos fluxos. Reproduzir a experiência integral do spot exige incluí-los. “Ação sintética” é atalho que precisa de uma ficha de fluxos.

Conversion e reversal combinam opções, ativo e financiamento. No mercado real não basta observar mids: todas as pernas devem ser executáveis na quantidade, e empréstimo, capital e liquidação precisam permanecer disponíveis.

Quando a igualdade europeia deixa de valer exatamente

A fórmula exata pressupõe exercício europeu e fluxos replicáveis. Nas opções americanas, o exercício antecipado acrescenta um direito cujo valor depende de dividendos, taxas, moneyness e financiamento. A igualdade europeia não se transfere em geral.

Outros limites incluem restrição ou custo do borrow — empréstimo de ativos —, taxas diferentes de financiamento, bid-ask, corretagem, tributos, impacto, horários não sincronizados, exercício, risco de contraparte, liquidação, moeda, multiplicador, margem e limites de posição. Com atritos, a paridade forma uma faixa de coerência, não um ponto arbitrado por qualquer participante. Diferença menor que todos os custos não é lucro sem risco.

Paridade e superfície de volatilidade

Call e put europeias do mesmo strike e vencimento compartilham relação de preço. Invertidas com modelo e inputs coerentes, suas IVs devem ser reconciliáveis. Diferenças podem vir de spread, horários, forward ou dividendos errados, estilo americano e filtros.

A superfície costuma usar puts OTM abaixo do forward e calls OTM acima. A passagem entre asas exige paridade coerente. Uma diferença bruta entre prêmios não é automaticamente skew: strike, forward, taxas e dividendos explicam parte da relação.

Para uma verificação executável, não se compara apenas call mid − put mid. Quem precisa comprar a call e vender a put enfrenta, respectivamente, ask e bid; a operação inversa usa os outros lados. Cada direção produz um limite diferente. Depois entram o custo efetivo de carregar ou tomar emprestado o ativo, o valor presente dos fluxos e os multiplicadores contratuais. Esse procedimento transforma uma aparente violação pontual em uma faixa testável e mostra qual combinação de ordens seria realmente necessária para capturá-la. Se a cotação muda antes do último fill, a replicação deixa de estar travada.

Erros típicos são usar strikes ou vencimentos diferentes, esquecer desconto e dividendos, aplicar igualdade europeia a americanas, chamar forward implícito de previsão, avaliar arbitragem em mids, tratar sintética como idêntica ao spot e ignorar multiplicadores.

Checklist

Call e put têm mesmo ativo, strike, vencimento, estilo e entregável?
A fórmula usa spot, forward ou futuro?
Taxas, dividendos, borrow e calendário são coerentes?
Os prêmios são pagos à vista ou sob outra convenção?
Preços são simultâneos e executáveis no lado correto?
A sintética replica só o payoff final ou também fluxos intermediários?
Exercício antecipado muda o confronto?
Custos, margem, capital e liquidação encerram toda exposição?

Fontes

Options Industry Council, Put/Call Parity — relação spot, hipóteses, conversion, reversal e sintéticas.
CME Group, Put-Call Parity — paridade para opções no mesmo futuro, strike e vencimento.
CME Group, CME Options Workshop — forma forward e valor presente de F − K.
Fischer Black e Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, 1973 — fonte primária sobre replicação e não arbitragem.
The Options Clearing Corporation, Characteristics and Risks of Standardized Options — exercício, assignment, liquidação e riscos.
Options Industry Council, Option Price Behavior — preços relativos, valor intrínseco e paridade.
Cboe Options Institute, Options Definitions & Glossary — estilo americano e europeu e liquidação.