A chi serve questa voce — A chi deve distinguere scadenza, tempo economico dei flussi e sensibilità del prezzo di un titolo o portafoglio a una variazione dei rendimenti.
La duration non è un'unica quantità universale. Nel reddito fisso il nome indica una famiglia di misure collegate ma diverse:
- la duration di Macaulay è il tempo medio dei flussi, ponderato per il loro valore attuale;
- la duration modificata approssima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento a scadenza;
- la duration effettiva stima la sensibilità rivalutando lo strumento dopo shock di curva, utile quando i flussi possono cambiare.
Duration di Macaulay: il tempo economico dei flussi
Per flussi CFₜ, tempi t, valori attuali PV(CFₜ) e prezzo pieno P:
D_Mac = Σ[t × PV(CFₜ)] / PL'unità è il tempo, normalmente anni. Una zero coupon senza opzioni ha duration di Macaulay pari alla propria scadenza; un'obbligazione con cedole riceve parte del valore prima e ha in genere duration inferiore alla maturity. A parità delle altre condizioni, una cedola più alta anticipa peso economico e tende a ridurre la duration; una scadenza più lunga tende ad aumentarla.
Queste relazioni sono condizionate a flussi e tassi. La duration non è il tempo che un investitore deve obbligatoriamente mantenere il titolo né il momento in cui recupererà sicuramente il capitale. Default, call, rimborso anticipato e vendita modificano il risultato.
Duration modificata: sensibilità al rendimento
Con rendimento nominale annuo y composto m volte l'anno, per un titolo a
flussi fissi nella convenzione standard:
D_mod = D_Mac / (1 + y/m)La relazione di primo ordine è:
ΔP / P ≈ −D_mod × ΔySe D_mod = 6 e il rendimento aumenta di 0,001, cioè 10 punti base,
l'approssimazione indica una variazione di prezzo vicina a −0,6%, prima della
correzione di
convessità.
Il segno meno descrive la relazione locale ordinaria fra prezzo e rendimento
di un titolo a tasso fisso senza optionalità dominante.
Il rendimento deve essere espresso in forma decimale: 1% è 0,01, non 1.
La formula dipende inoltre dalla convenzione di capitalizzazione. Una duration
calcolata con yield semestrale non va applicata a uno shock espresso in una
convenzione incompatibile.
Duration effettiva e strumenti con optionalità
Quando call, prepayment o altre opzioni modificano i flussi al variare dei tassi, la formula basata su cash flow fissi può essere inadeguata. La duration effettiva usa prezzi rivalutati dal modello:
D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δy)P₋ è il prezzo dopo uno shock di rendimento verso il basso, P₊ dopo uno
shock verso l'alto, P₀ il prezzo iniziale e Δy l'ampiezza positiva dello
shock. Bisogna dichiarare quale curva viene spostata, che cosa resta fermo e
come il modello tratta esercizio, prepayment e spread.
Per mortgage-backed securities o callable bond, un calo dei tassi può accelerare rimborsi o call e accorciare i flussi. La duration può cambiare molto e persino assumere segni non ordinari in strutture particolari. Il numero è quindi inseparabile dal modello.
Parallel shift, curva e spread
Una sola duration comprime il rischio della curva dei rendimenti in uno shock. Se i tassi a due, cinque e dieci anni si muovono diversamente, due portafogli con la stessa duration totale possono produrre P&L diversi. Le key-rate duration o i DV01 per nodo distribuiscono la sensibilità lungo le scadenze.
Va distinto anche il fattore sottoposto a shock:
- curva risk-free o governativa;
- curva swap;
- rendimento a scadenza del singolo titolo;
- spread di credito o option-adjusted spread;
- tasso reale o aspettativa d'inflazione.
Duration di tasso e spread duration non sono intercambiabili. Un hedge del primo fattore può lasciare basis, credito e liquidità.
Dal percentuale al valore monetario
La duration modificata esprime una variazione relativa approssimata. Per ottenere un valore monetario per un punto base si usa il DV01:
DV01 in magnitudine ≈ P_full × D_mod × 0,0001P_full deve rappresentare il valore pieno della posizione nella valuta del
report, non necessariamente il prezzo quotato per 100 di nominale. Quantità,
accrued interest, face value e conversione valutaria devono essere coerenti.
L'aggregazione di duration come media ponderata e quella dei DV01 firmati rispondono a domande diverse. Un portafoglio con DV01 netto vicino a zero può conservare esposizioni lorde elevate su nodi diversi della curva.
Limiti e controlli
- è un'approssimazione locale, più debole per shock ampi;
- la convessità corregge parte della nonlinearità, non ogni rischio;
- cash flow incerti richiedono ipotesi comportamentali e di modello;
- spread, credito, inflazione, valuta e liquidità restano separati;
- duration calcolate su curve o compounding diversi non sono direttamente confrontabili;
- il numero cambia con prezzo, rendimento, tempo e composizione.
Errore tipico — Dire che una duration di 7 significa “scadenza a sette anni” o una perdita certa del 7% per qualsiasi rialzo. È una sensitività locale sotto uno shock e una convenzione definiti.
Checklist
- È Macaulay, modificata, effettiva, spread o key-rate duration?
- Quali curva, yield, compounding e day count sono usati?
- Il prezzo è clean o full e quale valuta rappresenta?
- I flussi sono fissi o dipendono da opzioni e comportamento?
- Quale ampiezza e direzione ha lo shock?
- Convessità e nodi di curva sono materiali?
- Quali rischi di credito, basis e liquidità restano fuori?
Fonti
- Frederick R. Macaulay, Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856, NBER, 1938.
- Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present — formule di Macaulay, modified duration e convexity.
- FINRA, Brush Up on Bonds: Interest Rate Changes and Duration.
- Basel Committee on Banking Supervision, SRP98 — Application guidance on interest rate risk in the banking book — profili di duration, PV01 e limiti degli shock semplici.