A chi serve questa voce — A chi usa la duration e vuole misurare la curvatura della relazione fra prezzo e rendimento, soprattutto quando lo shock non è infinitesimo o i flussi contengono optionalità.
La convessità obbligazionaria è una sensitività di secondo ordine. Mentre la duration descrive la pendenza locale della relazione prezzo-rendimento, la convessità descrive come quella pendenza cambia al variare del rendimento:
C = (1 / P) × ∂²P / ∂y²P è il prezzo pieno coerente con il calcolo e y il rendimento nella
convenzione dichiarata. Se y è espresso come numero decimale annuo, la
convessità normalizzata ha spesso unità interpretabili come anni al quadrato.
Altre implementazioni usano scale o shock discreti diversi: il nome da solo
non identifica l'unità.
La correzione di secondo ordine
Per un titolo a flussi fissi e uno shock coerente di rendimento:
ΔP / P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × (Δy)²Il primo termine è la stima lineare tramite duration modificata; il secondo
corregge la curvatura. Lo shock Δy deve essere decimale: 100 punti base sono
0,01. Il fattore ½ appartiene alla Taylor approximation e non va omesso.
Esempio illustrativo: D_mod = 5, C = 40, shock +0,01.
ΔP/P ≈ −5 × 0,01 + ½ × 40 × 0,01² = −4,8%La sola duration avrebbe stimato −5%. L'esempio mostra il meccanismo, non
una previsione: yield curve, spread, cash flow e modello possono cambiare
insieme.
Convessità positiva e negativa
Un'obbligazione plain vanilla senza opzioni incorporate presenta normalmente una relazione prezzo-rendimento convessa: a parità di shock, il guadagno per un calo del rendimento supera in magnitudine la perdita stimata per un rialzo uguale. Da qui l'espressione convessità positiva.
Non tutti gli strumenti mantengono questo profilo. Una callable bond può vedere limitato l'aumento di prezzo quando i tassi scendono, perché cresce la probabilità di rimborso anticipato. Nei mortgage-backed securities il prepayment può accorciare i flussi quando i tassi calano e allungarli quando salgono. In certe regioni il profilo mostra convessità negativa.
Il segno appartiene allo strumento e alla posizione. Vendere un'esposizione a convessità positiva ne inverte il contributo al portafoglio. Spread, swaption e strutture con più gambe richiedono l'aggregazione dei valori firmati e non possono essere classificati dal solo nome commerciale.
Convessità effettiva
Quando i flussi cambiano con i tassi, si usa spesso una stima tramite prezzi rivalutati:
C_eff = (P₋ + P₊ − 2P₀) / (P₀ × (Δy)²)P₋ è il prezzo nello scenario di rendimento più basso, P₊ nello scenario
più alto e P₀ quello iniziale. Il risultato dipende dall'ampiezza del bump e
dalle ipotesi con cui il modello ricostruisce cash flow, esercizio, prepayment,
curve e spread. Shock differenti possono produrre convexity effettive diverse.
Una misura calcolata spostando tutta la curva risk-free non equivale a una convessità rispetto allo spread di credito. Il fattore e ciò che rimane fermo devono essere nominati.
Rapporto con DV01 e rischio di curva
Il DV01 è la variazione monetaria locale per un punto base. Con convessità diversa da zero, il DV01 cambia mentre si muove il rendimento: la tangente alla curva diventa più o meno ripida. Un hedge DV01-neutral costruito oggi può quindi perdere neutralità dopo uno shock.
La convessità totale non descrive inoltre la distribuzione lungo la curva. Due portafogli possono avere duration e convessità aggregate simili ma esposizioni diverse ai nodi a due, cinque e trenta anni. Key-rate duration, DV01 per nodo e scenari di steepening, flattening o twist completano la lettura.
Un confronto economico deve mantenere coerenti:
- valuta e valore pieno della posizione;
- curva e nodo sottoposti a shock;
- yield compounding e day count;
- clean price o dirty/full price;
- segno, quantità e perimetro di netting;
- modello dei flussi opzionali.
Convessità non è protezione gratuita
Una maggiore convessità positiva può essere desiderabile sotto shock ampi, ma ha un prezzo incorporato nelle quotazioni o nel carry. Non prova che il titolo abbia rendimento atteso superiore e non elimina credito, spread, liquidità, inflazione o valuta. Allo stesso modo, convexity negativa non implica perdita in ogni scenario: descrive la geometria locale rispetto al fattore scelto.
Per shock molto grandi, la Taylor approximation di secondo ordine può restare insufficiente. Barriere, call discrete e cambiamenti comportamentali possono produrre kink o discontinuità. In quei casi la rivalutazione completa per scenario è la misura principale; duration e convexity servono a spiegare e controllare il risultato locale.
Errore tipico — Applicare una convessità calcolata sul rendimento a scadenza a uno shock di curva o spread diverso senza dichiarare la trasformazione. La sensitività appartiene al fattore realmente perturbato.
Checklist
- La convessità è analitica, effettiva o calcolata per differenze finite?
- Quale rendimento, curva o spread viene perturbato?
- Quali unità e ampiezza di bump sono usate?
- Prezzo, quantità, valuta e segno sono coerenti?
- I flussi sono fissi oppure dipendono da call o prepayment?
- Il rischio per nodo della curva resta visibile?
- Per gli shock materiali è stata eseguita una rivalutazione completa?
Fonti
- Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present — definizione e approssimazione duration-convexity.
- CME Group, Calculating the Dollar Value of a Basis Point — variazione del DV01 lungo una relazione convessa.
- Basel Committee on Banking Supervision, SRP98 — Application guidance on interest rate risk in the banking book — limiti delle misure semplici rispetto a curve, basis e optionalità.
- Basel Committee on Banking Supervision, Principles for the management of interest rate risk — duration modificata, duration effettiva e ipotesi sui flussi.