A quién sirve esta entrada — A quien quiere mejorar la aproximación lineal de duración, comparar perfiles de curvatura y reconocer cuándo la opcionalidad puede generar convexidad negativa.
La convexidad mide la curvatura local de la relación entre precio de un bono y rendimiento. En forma normalizada:
Convexidad = (1 / P) × ∂²P / ∂y²P es normalmente el precio completo y y el rendimiento definido por una
convención de capitalización. La duración aporta la pendiente de primer orden;
la convexidad describe cómo cambia esa pendiente. No es una garantía de
rentabilidad y no reemplaza la revaloración del instrumento.
De la línea a la curvatura
Con duración modificada D_mod y convexidad normalizada C, una aproximación
de segundo orden es:
ΔP / P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × (Δy)²El shock debe expresarse en decimal: 1 punto básico es 0,0001, 50 puntos
básicos son 0,0050. Si D_mod = 5, C = 40 y el yield sube 50 puntos
básicos, el término lineal es −0,025 y el de convexidad +0,0005. La
aproximación total es cerca de −2,45%, antes de cantidad, nominal, moneda y
otros factores.
Algunas fuentes definen convexidad sin dividir por el precio, con factores de
capitalización diferentes o por un shock específico. La unidad de la versión
normalizada suele describirse como años cuadrados, pero depende de la variable
de rendimiento. Comparar cifras requiere la misma definición de y, precio,
day count y escala.
Convexidad analítica y efectiva
En bonos de flujos fijos, la convexidad puede derivarse de los flujos descontados bajo una convención de yield. Necesita cupones, principal, fechas, precio full y capitalización coherentes con la duración. Es local respecto a un único rendimiento y comprime la forma de la curva.
Para instrumentos cuyos flujos cambian con los tipos, se usa con frecuencia una convexidad efectiva por revaloración:
C_eff = (P_menos + P_mas − 2 × P_0) / (P_0 × (Δr)²)P_menos es el precio bajo una bajada de tipos, P_mas bajo una subida,
P_0 el precio inicial y Δr el shock decimal simétrico. El modelo debe
recalcular ejercicio, prepago y flujos en cada escenario. Resultado y signo
dependen del tamaño del shock, de qué curva se desplaza y del modelo empleado.
Un shock demasiado pequeño puede amplificar ruido numérico; uno grande deja de ser una medida estrictamente local. Conviene documentar el shock y comprobar estabilidad con más de un tamaño.
Convexidad positiva y negativa
Un bono convencional de cupón fijo y sin opciones suele mostrar convexidad positiva: ante movimientos simétricos del yield, la ganancia por una bajada tiende a superar en magnitud la pérdida por una subida, manteniendo lo demás constante. Esta propiedad explica la corrección positiva del término cuadrático en el ejemplo anterior.
La convexidad puede ser negativa cuando la opcionalidad limita la subida de precio. En un bono callable, una caída de tipos puede aumentar la probabilidad de amortización anticipada; en instrumentos hipotecarios, los prepagos pueden acortar flujos. La relación se aplana justo en el escenario donde un bono sin opciones apreciaría más. Puts, caps, floors y estructuras exóticas generan otros perfiles.
Por eso no debe afirmarse que todos los bonos tienen convexidad positiva. El signo pertenece al instrumento, a la posición —una posición corta lo invierte— y al punto de mercado. Puede cambiar conforme se aproxima un umbral de ejercicio.
Curvas no paralelas y otros factores
La fórmula con un solo y supone un factor compacto. Una curva real puede
empinarse, aplanarse o moverse por nodos. Convexidades por key rate y
sensibilidades cruzadas describen mejor esos cambios, pero añaden hipótesis y
dimensión. Para carteras grandes, una matriz de escenarios de curva suele ser
más informativa que una convexidad agregada.
El spread de crédito, la volatilidad de tipos, la liquidez y la probabilidad de impago también pueden cambiar a la vez. La convexidad calculada frente a la curva libre de riesgo no incluye automáticamente convexidad de spread ni opcionalidad de crédito. El informe debe identificar factor y modelo.
Agregación, cobertura y precio de la convexidad
La contribución monetaria depende del valor de mercado, cantidad, nominal y moneda. Solo se agregan convexidades después de traducirlas a una base de P&L coherente. Promediar cifras normalizadas sin pesos adecuados puede ocultar el riesgo. Además, una convexidad neta pequeña puede resultar de grandes posiciones opuestas en tramos distintos.
Dos carteras con la misma duración pueden tener convexidad diferente y reaccionar de forma distinta a shocks. Obtener convexidad positiva suele tener un precio: menor carry, prima de opción u otra exposición. Una cobertura por duración que ignora convexidad deriva conforme se mueve el yield. Aun cubriendo ambas, permanecen basis, cambios de curva, spread, liquidez y riesgo de modelo.
Error típico — Tratar la convexidad como una bonificación constante y sumar el mismo ajuste para cualquier shock. Es una derivada local condicionada por el modelo y por los flujos.
Lista de comprobación
- ¿La convexidad es normalizada, monetaria, analítica o efectiva?
- ¿Qué precio, yield, capitalización y day count se usaron?
- ¿El shock es decimal y cuál es su tamaño?
- ¿Qué curva o nodo se desplaza?
- ¿Los flujos cambian por call, put, prepago o impago?
- ¿El signo corresponde al instrumento largo o a la posición completa?
- ¿La revaloración completa confirma la aproximación en shocks materiales?
Fuentes
- Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present.
- CME Group, Calculating the Dollar Value of a Basis Point — duración, convexidad y aproximación de precio.
- Basel Committee on Banking Supervision, Principles for the management of interest rate risk.
- Basel Committee on Banking Supervision, SRP98 — Interest rate risk in the banking book.