La convexité obligataire mesure comment la sensibilité prix-rendement évolue lorsque le rendement change. La duration donne la pente locale ; la convexité décrit la courbure autour de ce point.
En termes simples — La duration dessine une ligne droite approximative ; la convexité corrige cette estimation lorsque le mouvement de taux devient assez grand pour révéler la courbe.
C = (1/P) × ∂²P/∂y²Correction de second ordre
Pour un titre à flux fixes et un choc cohérent :
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × (Δy)²Le premier terme vient de la duration modifiée ; le second ajoute la
convexité. Le choc est décimal : 100 points de base valent 0,01. Le facteur
½ appartient au développement de Taylor.
Avec D_mod = 5, C = 40 et un choc de +0,01, l’approximation donne
−5 × 0,01 + ½ × 40 × 0,01² = −4,8 %. La duration seule aurait donné −5 %.
L’exemple illustre la mécanique ; il ne prévoit pas une courbe ou un spread.
Convexité positive et négative
Une obligation simple sans option incorporée présente généralement une courbe prix-rendement convexe : pour des chocs symétriques, le gain lorsque le rendement baisse dépasse en valeur absolue la perte estimée lors d’une hausse.
Une obligation callable ou un mortgage-backed security peut afficher une convexité négative dans certaines régions. Lorsque les taux baissent, la probabilité de remboursement anticipé limite la hausse du prix ; lorsque les taux montent, les flux peuvent s’allonger. Le signe dépend aussi de la position : vendre un instrument à convexité positive inverse sa contribution.
« Plus de convexité » n’est pas gratuitement préférable. La courbure est intégrée au prix ou au carry et ne supprime pas crédit, liquidité, inflation ou change.
Convexité effective
Lorsque les flux varient, une estimation par revalorisation est courante :
C_eff = (P₋ + P₊ − 2P₀) / (P₀ × (Δy)²)Le résultat dépend du bump, de la courbe, du modèle d’exercice et de ce qui reste fixe. Une convexité face au rendement à maturité n’est pas la même qu’une convexité de spread ou de courbe.
DV01 et risque de courbe
Le DV01 est une pente monétaire locale. Lorsque la convexité est non nulle, cette pente change avec les taux. Un hedge DV01-neutre aujourd’hui peut perdre sa neutralité après un mouvement.
Deux portefeuilles de duration et convexité totales similaires peuvent exposer des nœuds différents. Key-rate duration, DV01 par maturité et scénarios de steepening, flattening ou twist complètent la mesure.
Quand revaloriser complètement
Pour de grands chocs, le second ordre peut rester insuffisant. Barrières, calls discrets et comportements de prépaiement créent des ruptures. Le repricing par scénario devient alors la mesure principale ; duration et convexité expliquent seulement le voisinage du point initial.
Erreur fréquente — Appliquer une convexité calculée sur un rendement à un autre facteur sans déclarer la transformation. La sensibilité appartient au facteur réellement perturbé.
Références
- Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present
- CME Group, Calculating the Dollar Value of a Basis Point
- Basel Framework — SRP98
- Basel Committee, Principles for the management of interest rate risk