Em termos simples — A relação entre preço e taxa é curva. Convexidade mede quanto a inclinação usada pela duration muda quando a taxa se move.
A convexidade é uma sensibilidade de segunda ordem. Ela corrige parte do erro da aproximação linear de duration, especialmente para choques maiores.
Aproximação local
Uma forma comum é:
ΔP ÷ P ≈ −Dmod × Δy + ½ × C × (Δy)²Formalmente, a convexidade normalizada se relaciona à segunda derivada (1/P) × ∂²P/∂y². Convenções de frequência e escala devem ser declaradas.
Positiva e negativa
Títulos simples de taxa fixa costumam exibir convexidade positiva: para choques simétricos, o ganho quando a taxa cai tende a superar a perda quando sobe, mantidas as demais condições. Instrumentos com opções embutidas podem ter convexidade reduzida ou negativa porque os fluxos esperados mudam.
Portanto, gamma e convexidade não são sempre positivos. Sinal, fator e posição importam.
Uso e limites
Convexidade melhora a aproximação, mas não substitui reprecificação completa para choques grandes ou curvas não paralelas. Spread, crédito, liquidez e optionalidade exigem cenários próprios. Em carteira, somar convexidades só é válido após alinhar unidades, fatores e sinais.
Convexidade efetiva
Quando os fluxos dependem de exercício, a derivada analítica de um fluxo fixo não basta. A convexidade efetiva usa preços reavaliados para choques para cima e para baixo. Ela depende do modelo e do tamanho do choque, portanto deve informar ambos.
Carteira e hedge
Uma carteira pode ter duration neutralizada e convexidade residual. Em movimentos pequenos, o hedge linear pode funcionar; em choques maiores, a curvatura produz P&L. Somar convexidade exige mesma base de preço, moeda, fator e convenção.
Convexidade positiva pode ser desejável, mas tem preço e não elimina perdas. Convexidade negativa em instrumentos callable pode limitar ganhos quando taxas caem e ampliar sensibilidade quando sobem. Cenários precisam combinar curva, spread e volatilidade.
Erro da aproximação
Compare cálculo linear, cálculo com termo quadrático e reprecificação completa. A diferença mostra quando a aproximação deixa de ser suficiente. Para choques grandes ou mudanças de fluxo, a reprecificação deve prevalecer sobre uma fórmula local.
Fontes
- Federal Reserve, FEDS 2006-28.
- CME Group, Calculating the Dollar Value of a Basis Point.
- Basel Committee, Interest rate risk in the banking book — SRP98.
- Basel Committee, Principles for the management of interest rate risk.