Ganz einfach — Duration zeichnet eine gerade Tangente an die Preis-Rendite-Kurve. Konvexität beschreibt, wie stark sich diese Steigung verändert, wenn die Rendite bewegt wird.
Die Anleihekonvexität ist eine lokale Krümmungskennzahl. Für einen Preis
P(y) als Funktion einer Rendite y kann eine
normalisierte Konvexität vereinfacht geschrieben werden:
C = (1/P) × ∂²P / ∂y²Konventionen unterscheiden sich nach Renditedefinition, Periodisierung und Skalierung. Ein Wert ist nur zusammen mit diesen Angaben vergleichbar.
Die Näherung zweiter Ordnung
Mit modifizierter Duration D_mod lautet eine verbreitete lokale
Approximation:
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × (Δy)²Der Durationterm reagiert auf die Richtung des Renditeschocks. Der quadratische
Konvexitätsterm trägt bei positiven und negativen Δy dasselbe
Vorzeichen wie C. Bei kleinen Bewegungen kann er gering sein; mit
größerem Schock wächst seine Bedeutung.
Positive und negative Konvexität
Viele einfache festverzinsliche Anleihen ohne eingebettete Optionen besitzen im üblichen Bereich positive Konvexität: Bei gleich großen Renditebewegungen ist der Preisanstieg bei fallenden Renditen größer als der Preisrückgang bei steigenden Renditen, sofern andere Bedingungen gleich bleiben.
Konvexität ist jedoch nicht immer positiv. Kündbare Anleihen oder hypothekenbesicherte Instrumente können negative Konvexität zeigen, weil sich erwartete Cashflows bei fallenden Renditen verändern. Auch Bewertungsannahmen und der betrachtete Bereich beeinflussen das Ergebnis.
Effektive Messung bei veränderlichen Cashflows
Wenn Cashflows vom Zinsniveau abhängen, wird Konvexität häufig durch symmetrische Neubewertung geschätzt:
C_eff ≈ (P_− + P_+ − 2P_0) / (P_0 × (Δy)²)Diese Kennzahl übernimmt das Preismodell, die Optionsannahmen und die gewählte Schockgröße. Verschiedene Systeme können deshalb abweichende Werte für dasselbe Instrument liefern.
Portfolio- und Hedgingeinsatz
Duration-neutrale Positionen können unterschiedliche Konvexität besitzen. Damit kann ein Hedge bei einer kleinen Bewegung passen und bei einer größeren Bewegung auseinanderlaufen. Portfolios werden deshalb nicht nur nach Gesamt- DV01, sondern auch nach Kurvenpunkten, Konvexität, Credit Spread und Optionen geprüft.
Konvexität besitzt auch einen Preis: Ein Instrument mit günstigerer Krümmung kann bei sonst ähnlichen Bedingungen anders bewertet sein. Die Kennzahl allein ist weder Kaufargument noch Renditeprognose.
Grenzen
Duration und Konvexität sind lokale Ableitungen. Nichtparallele Kurvenschocks, große Spreadbewegungen, Liquidität und Modellwechsel können die Näherung dominieren. Für materielle Entscheidungen wird die approximierte Änderung mit vollständiger Szenariobewertung verglichen.
Typischer Fehler — Konvexität stets als positiv und vorteilhaft zu beschreiben. Eingebettete Optionen können negative oder zustandsabhängige Krümmung erzeugen.
Numerische Prüfung
Bei effektiver Konvexität hängt das Resultat von der gewählten symmetrischen Schockgröße ab. Ein zu kleiner Schock kann Rundungs- und Modellrauschen verstärken; ein zu großer Schock misst nicht mehr nur lokale Krümmung. Deshalb werden mehrere kleine Schocks verglichen und die Approximation gegen direkt neu bewertete Preise getestet. Unterschiede werden nach Renditekonvention, Cashflowänderung und Preisverfahren erklärt. Diese Prüfung ist besonders bei Instrumenten wichtig, deren Optionsausübung sich nahe einer Schwelle stark ändert.
Quellen
- Federal Reserve, The Bias in the Conventional Duration Measure.
- CME Group, Calculating the Dollar Value of a Basis Point.
- Basel Framework, SRP98 — Interest rate risk in the banking book.
- Basel Committee, Principles for the Management of Interest Rate Risk.