A chi serve questa voce — Ogni media mobile del libro — half-span, full-span, inversa — poggia su questa derivazione. Quattro fatti da portarsi a casa: lag di mezzo span, zero esatto sul periodo uguale allo span, lobo d'errore costante a −0,23, e la legge di natura che salva il tutto.
Fonte: J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970 — Appendice IV, Frequency Response Characteristics of a Centered Moving Average (pp. 207–211, Fig. A IV-1, A IV-2).
Prerequisiti
Le medie mobili cicliche (Cap. 3/6) e, per il contesto, i filtri numerici (Cap. 11).
La derivazione
Si dà in ingresso alla media una cosinusoide pura, eᵢ = A·cos(ωt), e si calcola l'uscita centrata. Raccogliendo i termini, il rapporto uscita/ingresso — l'amplitude ratio — viene:
aᵣ = (1 + 2f) / n — dove f = cos(ωtₙ) + cos(2ωtₙ) + … + cos(((n−1)/2)·ωtₙ)
con n il numero di elementi e tₙ lo spacing dei dati. Da questa formula esatta discendono tutte le proprietà — e le figure qui sotto la disegnano tale e quale.
Le quattro proprietà
- Fase: l'uscita è esattamente in fase con l'ingresso su tutto lo spettro — tranne le inversioni di fase (180°) nei lobi d'errore dispari. Il lag è costante: metà dello span.
- Cutoff: la risposta si azzera la prima volta quando il periodo del ciclo è uguale allo span (n·tₙ). Scegliere lo span = scegliere quale componente sparisce del tutto — è la regola dello span pieno e mezzo span.
- Il lobo −0,23: il primo lobo d'errore dopo il cutoff vale −0,23, costante, indipendente dai parametri; i lobi successivi si alternano di segno rimpicciolendo. Le alte frequenze «filtrano» nell'uscita attenuate, in fase o in controfase: è il creep-through da riconoscere quando si cercano le svolte delle componenti.
- Una sola manopola: le caratteristiche sono interamente fissate dallo span — non c'è altro da progettare.
Perché un filtro così mediocre funziona — I lobi d'errore sono oscillazioni di Gibbs, colpa degli angoli squadrati della funzione di peso. Come «lisciatore» generico la MA sarebbe scarsa — «se non fosse che lo spettro dei prezzi mostra costantemente la relazione aᵢ = k/ωᵢ derivata nell'Appendice I. È solo la brusca attenuazione naturale delle alte frequenze dei prezzi a permettere l'uso di un filtro con caratteristiche così relativamente povere».
L'inversa: lo specchio
La inversa ha risposta 1 − aᵣ: si comporta da high-pass, di nuovo con lobi d'errore fino al 23% — ma con una differenza preziosa: nessuna inversione di fase, mai; l'uscita è perfettamente in fase su tutto lo spettro, con lo stesso lag di mezzo span. La risposta tocca 1 al periodo = span e nei lobi lo supera di quasi ¼: quando usi l'inversa per stimare l'ampiezza di una componente, correggi l'eccesso.
Scheda riepilogo
| Proprietà | Valore |
|---|---|
| Risposta esatta | aᵣ = (1 + 2f)/n, f = Σ cos(k·ωtₙ) |
| Lag | ½ span, costante |
| Primo zero | periodo = span (n·tₙ) |
| Primo lobo d'errore | −0,23, costante, in controfase |
| Ripiegamento | prima finestra a periodo = tₙ |
| Inversa | 1 − MA: high-pass, sempre in fase, overshoot ≈ +0,23 |
| Salvagente | la legge aᵢ = k/ωᵢ dei prezzi (App. I) |
Collegamenti
- Appendice I — la legge k/ω che rende la MA utilizzabile
- Half-span e full-span — l'uso operativo dello span
- L'inversa — lo specchio high-pass
- I filtri di Ormsby — come si arrotondano gli angoli
- Le appendici — indice
- Tradizione Hurst — indice dei capitoli