In una frase — Una media mobile lascia passare soprattutto i movimenti lenti e attenua quelli rapidi. La sua curva di risposta dice quanto resta di ogni frequenza, ma non dice che cosa farà il prezzo dopo.
Quale domanda risolve l'Appendice IV?
Una media mobile di undici punti sostituisce ogni valore con la media di undici osservazioni vicine. Il grafico diventa più regolare, ma “più regolare” non basta per capire quali oscillazioni siano state conservate, cancellate o invertite.
Nell'Appendice IV di The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst invia nel filtro una cosinusoide alla volta. Confrontando ampiezza e fase dell'uscita con quelle dell'ingresso costruisce la risposta in frequenza della media mobile centrata.
Dalla media alla curva
Sia n un numero dispari di osservazioni, h=(n−1)/2 e Ω=ωΔt la frequenza angolare per campione. La media centrata attribuita all'istante c è:
y_c = (1/n) Σ x_{c+k}, con k da −h a +h.
La risposta firmata derivata da Hurst può essere scritta in due forme equivalenti:
H_c(Ω) = (1/n)[1 + 2 Σ cos(kΩ)]
H_c(Ω) = sin(nΩ/2) / [n sin(Ω/2)]
La somma va da k=1 a h. A frequenza zero la risposta vale uno: una componente costante passa interamente. Il valore assoluto |H_c| è il rapporto fra le ampiezze; il segno indica se l'uscita resta in fase oppure si capovolge di 180°.
Come si legge la risposta
Il primo zero cade a Ω=2π/n, cioè al periodo T=nΔt nella convenzione del libro. Una componente con quel periodo scompare dall'uscita. Esistono altri zeri ai suoi multipli di frequenza: una media mobile non possiede quindi un unico confine netto, ma una sequenza di lobi.
Subito dopo il primo zero la risposta diventa negativa. Hurst riassume il minimo del primo lobo come −0,23 e lo usa come regola grafica indipendente dallo span. La formula discreta esatta mostra una piccola dipendenza da n: con undici punti il minimo è circa −0,223. Il numero −0,23 è dunque un'approssimazione storica utile, non una costante universale esatta per ogni lunghezza.
Nel lessico del libro questi sono lobi d'errore di Gibbs; nel lessico moderno sono i lobi laterali prodotti dalla finestra rettangolare. Le frequenze alte possono riapparire attenuate, alternativamente in fase e in controfase. È il creep-through: una curva liscia può ancora contenere residui non desiderati.
Fase zero e ritardo sono due cose diverse
Una finestra centrata di undici punti usa cinque osservazioni a sinistra, il punto centrale e cinque a destra. Se il risultato viene disegnato sul centro, i massimi delle componenti positive restano allineati nello storico. Questo è il senso di fase zero della rappresentazione centrata.
Il valore associato a c, però, si può calcolare solo quando è arrivato c+5. La versione causale equivalente presenta un ritardo di gruppo di h=(n−1)/2 campioni. Fase zero non significa disponibilità immediata e il bordo più recente resta privo di metà finestra.
Hurst chiama il ritardo “metà span” e usa span=nΔt. Nell'indicizzazione FIR moderna, n punti occupano n−1 intervalli e il ritardo esatto della versione causale è (n−1)Δt/2. Le due frasi usano convenzioni di span diverse; nessuna autorizza a riempire il bordo con dati futuri.
La media mobile inversa
L'operazione inversa sottrae la media centrata dall'ingresso. La sua risposta è:
H_inv(Ω) = 1 − H_c(Ω).
Le componenti lente vengono ridotte, mentre quelle rapide passano maggiormente: è un comportamento passa-alto. Quando H_c entra nel lobo negativo, H_inv supera uno; con undici punti raggiunge circa 1,223 nel primo massimo. L'overshoot può ingrandire una componente, quindi l'ampiezza osservata non va letta come misura non distorta.
Che cosa dimostra e che cosa no
La verifica riproducibile usa una finestra sintetica di undici punti. Conferma H_c(0)=1, il primo zero a 2π/11, il lobo vicino a −0,223 e l'identità fra il valore centrato a c e lo stesso valore causale disponibile a c+5.
Sono proprietà matematiche del filtro sullo stesso campione. Non costituiscono una validazione indipendente del modello ciclico, non misurano un vantaggio operativo e non sono un errore di previsione. Un uso predittivo richiede una regola fissata prima e una verifica fuori campione.
Hurst giustifica l'impiego pratico della media con la relazione ampiezza-frequenza proposta nell'Appendice I per i prezzi azionari. Quella relazione appartiene al suo modello storico: non è una legge universale da assumere senza verifica su mercato, periodo e dati scelti.
Limiti operativi
Lo span non è un cutoff perfetto. Il primo zero elimina un periodo preciso, ma i lobi lasciano filtrare altre frequenze.
I bordi dipendono dalla procedura. Escludere metà finestra, traslare l'uscita o applicare padding produce risultati diversi e va dichiarato.
L'errore di progetto non è errore di previsione. La differenza fra risposta desiderata e risposta reale descrive il filtro; non anticipa la direzione del mercato.
Fonti
- J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, Appendice IV, pp. 207–211 — derivazione, primo zero, lobi, inversa e implicazioni dichiarate nel libro.
- MIT OpenCourseWare, 6.02 Lecture 12: Filters and composition, slide 15 — risposta in frequenza di un moving-average filter.
- MIT OpenCourseWare, Digital Signal Processing: linear-phase FIR systems — simmetria, centratura e fase lineare nei filtri FIR.
- SciPy,
freqzegroup_delay— calcolo moderno della risposta complessa e del ritardo di gruppo.
Collegamenti
Spettro del DJIA · Medie mobili cicliche · Media mobile inversa · Filtri di Ormsby · Appendici di Hurst