In una frase — Un filtro di Ormsby è un setaccio matematico: conserva soprattutto le oscillazioni comprese in una banda scelta e attenua le altre. L'uscita descrive i dati disponibili; da sola non prevede il tratto successivo.
Come funzionano i filtri numerici di Ormsby secondo Hurst?
Nel Capitolo 11 di The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst parte da un'analogia concreta. Una media mobile è un setaccio poco selettivo: lascia passare le frequenze basse, cioè le oscillazioni lente. La sua inversa conserva soprattutto quelle alte. Un band-pass, o filtro passa-banda, trattiene invece l'intervallo compreso fra due confini.
Hurst riprende un progetto pubblicato da Joseph F. A. Ormsby. Prima si disegna la risposta desiderata; poi si calcola una sequenza finita di pesi che la approssima. Il filtro non “trova” automaticamente un ciclo: il ricercatore decide in anticipo quale banda esaminare.
La banda in quattro frequenze
La risposta ideale ha la forma di un trapezio. Le quattro frequenze angolari sono ordinate come ω₁ < ω₂ < ω₃ < ω₄:
- sotto
ω₁la risposta desiderata è zero; - fra
ω₁eω₂si trova la prima zona di transizione; - fra
ω₂eω₃la risposta è circa uno, quindi la banda viene conservata; - fra
ω₃eω₄il filtro torna gradualmente verso zero.
Le rampe contano quanto il tratto centrale. Un filtro finito non realizza una parete perfettamente verticale: una componente vicina al confine può essere attenuata solo in parte. Per questo vanno dichiarate tutte e quattro le frequenze, non soltanto un periodo “centrale”.
Il passo di campionamento t fa parte del progetto. Pesi costruiti per osservazioni ogni sette settimane non possono essere applicati senza conversione a chiusure giornaliere o settimanali. Frequenze, periodi e limite di Nyquist devono usare la stessa unità.
Dai pesi all'uscita
Con un numero dispari n di pesi esiste un coefficiente centrale. Posto h = (n−1)/2, l'uscita associata al punto c è:
y_c = Σ w_j x_{c+j}, con j da −h a +h.
Ogni prezzo nella finestra viene moltiplicato per il proprio peso; i prodotti vengono sommati; la finestra avanza di una osservazione. Hurst fa inoltre sottrarre a ogni coefficiente la media di tutti i pesi: la somma finale è zero, così la componente a frequenza zero non passa.
I pesi sono simmetrici attorno al centro. Se l'uscita viene collocata sul dato centrale, le componenti ammesse restano allineate: è il senso storico di fase zero in questa procedura. Fase zero non significa ritardo zero. Una versione causale, che usi soltanto presente e passato, deve attendere o traslare il risultato e introduce un ritardo di gruppo.
Il bordo che manca
Per calcolare y_c servono h osservazioni prima e h dopo il centro. Vicino all'ultima data, quelle future non esistono ancora. Il grafico storico può quindi mostrare la curva centrata solo fino a mezzo span prima del presente.
Nell'esempio del libro, n = 199, dunque h = 99. Con un dato ogni sette settimane, il margine non calcolabile è 99 × 7 = 693 settimane, circa 13,3 anni per lato. Hurst accetta questo costo perché sta studiando molti decenni di passato. Non è una configurazione pensata come segnale operativo in tempo reale.
Riempire il bordo con dati futuri, estrapolazioni o padding produce oggetti diversi e può cambiare ampiezza e fase. Una prova riproducibile deve dichiarare la regola usata agli estremi.
L'esempio storico del libro
La Fig. XI-1 usa 199 pesi, dati distanziati di sette settimane e quattro confini pari a 0,85, 1,25, 2,05 e 2,45 radianti l'anno. I punti a metà delle due rampe corrispondono a periodi di circa 6,0 e 2,8 anni; Hurst descrive quindi come passante al 50% o più la banda 2,8–6,0 anni, scelta per studiare l'oscillazione nominale di circa 4,5 anni.
La sua regola pratica lega l'approssimazione al prodotto n·t·Δω, con Δω = ω₂−ω₁ = ω₄−ω₃. Nell'esempio, 199 × 7 × 0,4 = 557,2. Hurst associa valori fra 500 e 700 a un errore di progetto di circa 2,5–1%.
Quella percentuale misura quanto la risposta realizzata si discosta dal trapezio desiderato. Non è un errore di previsione, non misura il rendimento e non dimostra che la componente selezionata continuerà nel futuro.
Che cosa mostra davvero l'uscita
Su una serie sintetica costruita con trend, più oscillazioni e rumore, il filtro può recuperare bene la componente inserita nella sua banda. Il test conferma il funzionamento matematico del setaccio sullo stesso campione; non costituisce una validazione indipendente sui mercati.
Su prezzi reali, una curva filtrata mostra la parte dei dati ammessa da quel progetto. Non identifica la causa dell'oscillazione, non garantisce che il periodo sia stabile e non fornisce da sola un segnale di acquisto o vendita.
Per valutare un uso predittivo si fissano prima dati, banda, numero di pesi, trattamento dei bordi e regola decisionale. Solo dopo si misura il risultato su un intervallo successivo fuori campione, mai usato per scegliere i parametri. Va inoltre confrontato con alternative semplici e con i costi operativi.
Fonti
- J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, Capitolo 11, pp. 175–183 — setaccio, risposta in frequenza, compromesso precisione-ritardo, progetto e applicazione centrata.
- Joseph F. A. Ormsby, Design of Numerical Filters with Applications to Missile Data Processing, Journal of the ACM, 8(3), 1961, pp. 440–466 — lavoro originale richiamato da Hurst.
- SciPy,
firwin2— costruzione moderna di un FIR a fase lineare da frequenze e guadagni desiderati. - SciPy,
freqz— calcolo moderno della risposta complessa in frequenza di un filtro digitale.
Collegamenti
- Analisi spettrale secondo Hurst — il quadro del Capitolo 11
- Analisi di Fourier secondo Hurst — descrivere le frequenze candidate
- Scomposizione del DJIA — l'applicazione storica dei passa-banda
- Media mobile inversa — il filtro passa-alto usato come confronto
- Risposta delle medie mobili — perché la media è un separatore poco selettivo
- Tradizione Hurst — percorso storico completo