Analisi di Fourier secondo Hurst

Come funziona l'analisi di Fourier secondo Hurst?

Nel Capitolo 11 di The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst presenta una procedura attribuita a Cornelius Lanczos. Si parte da prezzi rilevati a intervalli regolari, si separa ogni frequenza in una componente coseno e una componente seno, poi si combinano le due in un'ampiezza.

È un cambio di prospettiva. La serie originale dice quando il prezzo è salito o sceso; lo spettro dice quanto ciascuna frequenza contribuisce alla ricostruzione del tratto analizzato.

Il contratto dei dati

Hurst richiede dati equispaziati: per esempio una chiusura al giorno o alla settimana, sempre scelta con lo stesso criterio. Usa un numero dispari m di osservazioni in ordine cronologico, così esiste un dato esattamente al centro.

Più lunga è la finestra, più vicine possono essere le frequenze distinguibili. Una frequenza di campionamento più alta permette invece di osservare oscillazioni più rapide. Aumentare soltanto il numero di punti senza dichiarare intervallo, dati mancanti e trasformazioni non rende automaticamente migliore l'analisi.

La procedura storica in quattro passaggi

1. Aprire la serie attorno al centro. La prima sequenza contiene il valore centrale e poi le somme delle coppie equidistanti; l'ultima somma viene dimezzata. La seconda parte da zero e usa le differenze “più recente meno più antico”; anche il suo ultimo elemento è zero.
2. Costruire la griglia. Posto q = (m−1)/2, Hurst definisce Z = π/q. Le frequenze angolari sono ωₖ = kZ/Δt, con k da 0 a q e Δt pari all'intervallo fra due osservazioni.
3. Calcolare le due coordinate. Le somme pesate con i coseni producono aₖ; quelle pesate con i seni producono bₖ. Sono due viste della stessa frequenza, sfasate di un quarto di ciclo.
4. Comporre l'ampiezza. Per ogni frequenza, Aₖ = √(aₖ² + bₖ²). Tracciando Aₖ contro frequenza, frequenza angolare o periodo si ottiene lo spettro.

Questa forma centrata, con il particolare trattamento degli estremi, è la ricetta manuale riportata nel libro. Un software moderno può calcolare la stessa famiglia di componenti tramite una DFT o una FFT, ma segno, normalizzazione e ordinamento dei coefficienti vanno sempre dichiarati.

Un esempio minimo

Con m = 9 osservazioni settimanali, q = 4 e Z = π/4. La procedura esamina 0, π/4, π/2, 3π/4 e π radianti per settimana. Escluso lo zero, i periodi corrispondenti sono 8, 4, circa 2,67 e 2 settimane.

L'ultimo punto, π radianti per intervallo, è il limite di Nyquist: con un dato alla settimana non si può distinguere correttamente un'oscillazione più rapida di un ciclo ogni due settimane. Una frequenza superiore può riapparire sotto un'identità falsa, fenomeno chiamato aliasing.

Ampiezza, fase e ricostruzione

La coppia (aₖ, bₖ) determina ampiezza e fase della componente k. L'ampiezza è la lunghezza del vettore; la fase è il suo angolo. Il segno esatto della formula della fase dipende dalla convenzione usata per seno, coseno e trasformata, perciò non va copiato fra software senza controllarne la documentazione.

Sommando le componenti si può ricostruire la finestra con grande precisione. È una verifica matematica della scomposizione sugli stessi dati, non un errore di previsione. Estrarre i coefficienti e giudicarli sul medesimo tratto è analisi in-sample.

Risoluzione e distorsioni della finestra

Nella notazione moderna, una finestra di N osservazioni distanziate di Δt ha una spaziatura tipica fra frequenze pari a Δf = 1/(NΔt). Allungare la finestra rende la griglia più fine; campionare più spesso sposta il limite di Nyquist, ma non sono lo stesso miglioramento.

Se la finestra non contiene un numero intero di oscillazioni, l'energia si distribuisce fra bin vicini: è la spectral leakage. Media, trend, valori mancanti, scelta della finestra e normalizzazione possono cambiare i picchi. Queste decisioni fanno parte del risultato e devono essere riproducibili.

Che cosa riferisce il libro sul DJIA

Nel Capitolo 11 Hurst parla di 2.300 chiusure settimanali del Dow Jones Industrial Average. L'Appendice I specifica invece 2.229 osservazioni dal 29 aprile 1921 al 25 giugno 1965 e una risoluzione di 0,568 radianti l'anno. La differenza è conservata come tale: “2.300” appare una descrizione arrotondata del progetto, mentre l'Appendice fornisce il conteggio e l'intervallo precisi.

Hurst avverte inoltre che quasi ogni forma possiede uno spettro: perfino i punti di una linea tracciata col righello possono essere ricostruiti con componenti oscillanti. Lo spettro non prova che il processo originario abbia sommato realmente quelle onde. Se tale condizione non regge, scrive, non è lecito prevedere mediante semplice estrapolazione delle periodicità.

Come usarla con rigore oggi

Si dichiarano prima serie, intervallo, trattamento dei dati, finestra e frequenze da esaminare. I picchi vengono poi confrontati fra sotto-periodi e con stimatori complementari. Se l'obiettivo è la previsione, coefficienti e regole si congelano sul passato e si misurano su dati successivi mai usati per sceglierli.

Fourier è quindi uno strumento eccellente per descrivere e formulare ipotesi. Il passaggio da una buona ricostruzione a una regola predittiva richiede una prova separata fuori campione.

Fonti

• J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, Capitolo 11, pp. 171–175; Appendice I, pp. 188–200 — procedura di Lanczos, conteggi DJIA e avvertenza sull'estrapolazione.
• Scheda bibliografica Google Books dell'edizione Prentice-Hall del 1970.
• NIST/SEMATECH, Spectral Plot — Engineering Statistics Handbook — frequenze dominanti e lettura dello spettro.
• NumPy, Discrete Fourier Transform — convenzioni moderne di DFT, frequenza, ampiezza e ordinamento dei coefficienti.

Collegamenti

• Analisi spettrale secondo Hurst — quadro generale e limiti inferenziali
• Filtri numerici di Ormsby — isolamento delle bande candidate
• Appendice I: spettro del DJIA — applicazione storica del libro
• Scomposizione del DJIA — ricostruzione e previsione a confronto
• Tradizione Hurst — percorso storico completo