A chi serve questa voce — Dopo il band-pass resta una domanda: quali sinusoidi ci sono nell'uscita, esattamente? Questa appendice dà il metodo per misurarne frequenza, ampiezza e fase in modo oggettivo — con un bonus: «smussamento delle alte frequenze guadagnato senza alcun costo in lag aggiuntivo».
Fonte: J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970 — Appendice VI, Trigonometric Curve Fitting (pp. 215–216 e segg.). È la famiglia di tecniche nota come metodo di Prony.
Prerequisiti
I filtri di Ormsby e — per il fratello semplice — la retta ai minimi quadrati del Cap. 11.
L'idea
L'uscita di un band-pass contiene un numero ridotto di componenti: si postula la forma S(t) = Σ (Aᵢ·cos ωᵢt + Bᵢ·sin ωᵢt) con m componenti, e con N > 2m punti d'uscita si scrivono le N equazioni che pretendono la forma vera a ogni istante. Il fit ai minimi quadrati si ottiene con la procedura generalizzata dell'appendice — che vale «per qualunque funzione razionale», non solo per le sinusoidi:
- Si forma la matrice dei coefficienti delle incognite (le A e le B) più i termini noti.
- Da questa si costruisce una seconda matrice: si moltiplicano gli elementi di ogni riga per l'elemento della prima colonna e si sommano per colonne (prima riga nuova); poi per l'elemento della seconda colonna (seconda riga); e così via — le equazioni normali, 2m equazioni in 2m incognite.
- La soluzione simultanea dà le A e le B — cioè, per ogni componente, ampiezza composita √(A²+B²) e fase.
E le frequenze?
Quando le ωᵢ non si conoscono in anticipo, il metodo le ricava dalla stessa logica: l'equazione che le determina — della forma 2cos(mω) − 2α₁cos((m−1)ω) − … − αₘ = 0 — si esprime in polinomi di Chebyshev (T₀(x) = 1, T₁(x) = x, e la ricorrenza che genera gli altri), riducendo il problema alla soluzione di un polinomio in cos ω. È il cuore «alla Prony»: frequenze, poi ampiezze e fasi, tutto dai dati.
Scheda — A cosa serve, in pratica
- Misura oggettiva di frequenza/ampiezza/fase dall'uscita di un filtro — niente più letture a occhio dal grafico.
- Smussamento gratis: il fit elimina il residuo ad alta frequenza senza aggiungere lag — a differenza di un ulteriore filtro.
- Con l'interpolazione parabolica, chiude la filiera: filtra → riconcilia gli spacing → misura le sinusoidi.
Scheda riepilogo
| Elemento | Valore |
|---|---|
| Forma postulata | S(t) = Σ (Aᵢcos ωᵢt + Bᵢsin ωᵢt), N > 2m punti |
| Metodo | Minimi quadrati generalizzati (equazioni normali via matrice) |
| Frequenze | Da un polinomio in cos ω, via polinomi di Chebyshev |
| Uscita | ωᵢ, ampiezza √(Aᵢ²+Bᵢ²), fase — oggettive |
| Bonus | Smussamento HF senza lag aggiuntivo |
Collegamenti
- Appendice V — il passo precedente della filiera
- I filtri di Ormsby — da dove arrivano le serie
- L'analisi di Fourier — la mappa iniziale dello spettro
- Le appendici — indice
- Tradizione Hurst — indice dei capitoli