In una frase — L'interpolazione parabolica usa tre valori già noti per stimare i punti che stanno fra loro. Hurst la impiega per riportare su una stessa griglia temporale uscite di filtri calcolate a intervalli diversi.
Quale problema risolve?
Un filtro può produrre un valore ogni cinque settimane e un altro ogni tre. Prima di confrontare, sommare o sottrarre le due uscite servono osservazioni agli stessi istanti.
Nell'Appendice V di The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst costruisce una parabola locale su tre punti consecutivi e la valuta fra il punto centrale e quello successivo. Per i grafici del libro dichiara di avere così ricondotto i risultati dei filtri a un intervallo comune di una settimana.
Come funziona la finestra a tre punti
1 — Fissare la terna
I campioni consecutivi sono S₋₁, S₀ e S₊₁, distanti fra loro di un intervallo costante tₙ. Il tempo locale viene posto a zero sul campione centrale S₀.
2 — Calcolare la parabola
La forma locale è S(t) = a₀ + a₁t + a₂t². Nel caso simmetrico di Hurst i coefficienti diventano:
a₀ = S₀
a₁ = (S₊₁ − S₋₁)/(2tₙ)
a₂ = (S₊₁ + S₋₁ − 2S₀)/(2tₙ²)
Quindi:
S(t) = S₀ + a₁t + a₂t², con 0 < t < tₙ.
I nuovi valori appartengono al tratto già delimitato da S₀ e S₊₁. Non sono nuovi dati osservati: sono stime prodotte dalla curva.
3 — Scorrere di un campione
Dopo avere riempito quel tratto, la finestra avanza. Il vecchio S₊₁ diventa il nuovo centro, entra un altro punto a destra e viene calcolato il segmento successivo.
Le parabole adiacenti condividono il valore sul nodo comune, quindi la serie resta continua nei punti campionati. La pendenza, invece, può cambiare al passaggio da una parabola alla successiva.
Che cosa significa “esatta”
Tre punti forniscono tre equazioni per tre coefficienti. La parabola passa quindi esattamente per S₋₁, S₀ e S₊₁: il residuo sui nodi è zero per costruzione.
Questo non dimostra che la forma reale fra i nodi sia parabolica e non costituisce una validazione indipendente. La teoria generale dell'interpolazione colloca l'errore proprio fra i punti noti: dipende dalla regolarità della funzione e dalla distanza fra i campioni.
Nel linguaggio di Hurst la derivazione usa le equazioni dei minimi quadrati. Nel caso specifico a tre punti, però, il sistema è esattamente determinato; non rimangono osservazioni aggiuntive con cui misurare la bontà statistica della parabola.
Interpolazione, estrapolazione e previsione
Per stimare un istante compreso fra S₀ e S₊₁, S₊₁ deve essere già noto. Il valore intermedio diventa disponibile solo dopo l'arrivo del campione che chiude l'intervallo.
Estendere la parabola oltre S₊₁ è estrapolazione e non fa parte della procedura descritta nell'Appendice V. L'errore di interpolazione non è un errore di previsione: il primo riguarda punti interni a un intervallo osservato, il secondo riguarda dati futuri non usati nel calcolo.
Il metodo è quindi adatto alla ricostruzione storica e all'allineamento numerico delle uscite. Non rende disponibile in tempo reale l'ultimo tratto ancora privo del punto a destra.
Limiti e scelte d'implementazione
Tipo di serie. Hurst destina la tecnica alle uscite passa-banda con poco contenuto ad alta frequenza. Dati high-pass, rumore o svolte brusche possono richiedere più punti o un metodo diverso.
Densità dei campioni. Più la dinamica è rapida rispetto a tₙ, meno tre punti descrivono bene ciò che accade fra loro. Ridurre lo spacing aiuta, ma non trasforma l'interpolazione in osservazione.
Bordi. La formula centrale richiede un punto a sinistra e uno a destra. Il trattamento del primo e dell'ultimo intervallo — esclusione, estensione della prima o ultima terna, oppure un'altra regola — deve essere dichiarato dall'implementazione; Hurst non specifica una policy generale di bordo.
Una verifica riproducibile
La figura usa una sinusoide sintetica di periodo 60, campionata ogni 5 unità: dodici punti per ciclo. Applicando la finestra di Hurst e ricampionando ogni unità, l'errore assoluto massimo è circa 0,009, cioè 0,9% dell'ampiezza unitaria; sui campioni originari è zero.
È un controllo deterministico della formula, non un limite generale e non una misura sui prezzi. Aumentando la frequenza, il rumore o la distanza fra i punti, il risultato cambia.
Fonti
- J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, Appendice V, pp. 212–214 — problema delle griglie incompatibili, finestra scorrevole, formula e limiti storici.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.3 Interpolation — polinomio interpolante e termine di errore fra i nodi.
- SciPy, Extrapolation tips and tricks — differenza operativa fra valutazione interna ed estensione fuori dal dominio noto.
Collegamenti
Filtri numerici di Ormsby · Metodo di Prony · Analisi spettrale · Appendici di Hurst