A chi serve — A chi conosce il rischio totale del portafoglio ma deve capire quali posizioni, strategie o fattori lo producono e come cambierebbe dopo una variazione dei pesi.
Il contributo al rischio attribuisce una misura aggregata alle componenti del portafoglio. Non esiste prima della scelta della misura: si può contribuire alla volatilità, al VaR, all’Expected Shortfall o a una perdita di scenario, ma questi contributi non sono intercambiabili. Occorre dichiarare anche variabili, unità, orizzonte, livello di confidenza, modello e data degli input.
La decomposizione risponde a una domanda diversa dal peso di capitale. Un titolo con peso 10% può produrre più o meno del 10% della volatilità totale a seconda del rischio proprio e della covarianza con il resto. Il contributo non è neppure un budget di rischio: il primo è calcolato sul portafoglio corrente, il secondo è un obiettivo deciso prima dell’ottimizzazione o del controllo.
Marginale, di componente e incrementale
Sia R(w) una misura di rischio applicata al vettore di pesi o
esposizioni w. Tre espressioni spesso confuse hanno significati
distinti:
| Termine | Definizione | Domanda |
|---|---|---|
| Contributo marginale, MRCᵢ | ∂R / ∂wᵢ |
quanto è sensibile localmente il rischio a un’unità aggiuntiva di wᵢ? |
| Contributo di componente, RCᵢ | wᵢ × MRCᵢ |
quale parte del totale viene attribuita alla componente corrente? |
| Rischio incrementale | R(w + Δw) − R(w) |
quanto cambia il rischio per una modifica finita specifica? |
La derivata marginale è locale e dipende dall’unità di wᵢ. Il
contributo di componente incorpora l’esposizione corrente. Il rischio
incrementale può includere nonlinearità che una derivata al primo ordine non
cattura. “Marginale”, “component” e “incrementale” non sono quindi sinonimi.
Quando R è differenziabile e positivamente omogenea di grado uno,
il teorema di Eulero consente la piena allocazione:
R(w) = ∑ᵢ wᵢ × ∂R(w)/∂wᵢ = ∑ᵢ RCᵢLa quota percentuale può essere scritta come:
PRCᵢ = RCᵢ / R(w); ∑ᵢ PRCᵢ = 1Queste sono identità sotto condizioni precise, non regole operative. Se la misura non è omogenea, non è differenziabile nel punto considerato o viene stimata con una procedura incompatibile, la somma può non ricostruire il totale. Anche errori di dati, arrotondamenti e approssimazioni numeriche possono creare un residuo da riconciliare.
Il caso della volatilità
Per rendimenti lineari, pesi coerenti e matrice di covarianza Σ, la
volatilità di portafoglio è:
σₚ = √(wᵀ × Σ × w)Se σₚ > 0, il contributo marginale e quello di componente sono:
MRCᵢ = (Σw)ᵢ / σₚ; RCᵢ = wᵢ × (Σw)ᵢ / σₚNe segue ∑ RCᵢ = σₚ. Il termine (Σw)ᵢ contiene sia la
varianza propria sia le covarianze con le altre componenti. Per questo il
contributo non si ottiene moltiplicando semplicemente peso e volatilità
standalone.
La formula è un’identità del modello lineare di volatilità. Non cattura da sola payoff non lineari, gap, default, impatto di mercato, funding o dipendenze di coda. Per opzioni e portafogli complessi può servire la rivalutazione completa oppure una decomposizione coerente per fattori e sensitività.
Esempio numerico
Due componenti hanno pesi 60% e 40%, volatilità annualizzate stimate 10% e 20%
e correlazione 0,25. La covarianza è
0,10 × 0,20 × 0,25 = 0,005. La varianza stimata del portafoglio è:
σₚ² = 0,60² × 0,10² + 0,40² × 0,20² + 2 × 0,60 × 0,40 × 0,005 = 0,0124Quindi σₚ ≈ 11,14%. Il prodotto Σw vale 0,008 per la
prima componente e 0,019 per la seconda. I contributi risultano circa:
RC₁ = 0,60 × 0,008 / 0,1114 ≈ 4,31%; RC₂ = 0,40 × 0,019 / 0,1114 ≈ 6,83%La somma ricostruisce 11,14%. In quota, la prima componente contribuisce circa 38,7% e la seconda 61,3%. Il 40% del capitale assegnato alla seconda componente produce quindi, in questo esempio e secondo questa matrice stimata, oltre il 60% della volatilità. Cambiando correlazione, volatilità o pesi cambiano anche i contributi.
Contributi negativi e coperture
Un contributo può essere negativo quando la posizione riduce localmente la misura di rischio grazie al segno o alla dipendenza con il portafoglio. Non significa che la posizione sia priva di rischio o che generi una protezione in ogni scenario. La copertura può introdurre basis risk, liquidità, collateral e rischio di controparte; la relazione stimata può inoltre cambiare.
In presenza di contributi negativi, le quote positive possono superare il 100% perché vengono compensate da quelle negative. Un dashboard dovrebbe mostrare valori firmati, unità, totale riconciliato e risultato sotto scenari. Ordinare solo i valori assoluti cancella l’informazione di copertura; mostrare solo i firmati può invece nascondere esposizioni lorde elevate.
Altre misure e condizioni
VaR ed Expected Shortfall sono omogenei rispetto alla scala delle posizioni in formulazioni standard, ma i rispettivi contributi richiedono condizioni sul modello e metodi di stima adeguati. I contributi VaR possono essere instabili vicino al quantile; simulazioni storiche con pochi eventi di coda generano rumore. L’Expected Shortfall consente attribuzioni di coda, ma resta dipendente da campione, rivalutazione e definizione della perdita.
Il massimo drawdown storico, invece, dipende dal percorso e può cambiare punto di massimo al variare di un peso. Una semplice decomposizione Euler non va presunta. Anche le perdite di scenario sono additive solo se la rivalutazione e le interazioni sono definite in modo coerente; per portafogli non lineari il contributo “con e senza posizione” può differire da quello marginale.
Uso corretto nel processo
- Scegli la misura coerente con la decisione e dichiarane l’unità.
- Riconcilia pesi, prezzi, valuta, fattori e matrice alla stessa data.
- Calcola MRC, RC e quote senza scambiarli tra loro.
- Verifica che la somma ricostruisca il totale o spiega il residuo.
- Confronta contributi per posizione, strategia e fattore tramite look-through.
- Ripeti sotto stime alternative e scenari, non solo sul caso centrale.
- Usa il risultato per diagnosticare concentrazioni o confrontare un budget, non come ordine automatico di acquisto o vendita.
Errore tipico — Chiamare “contributo marginale” il prodotto tra peso e derivata, oppure interpretare una quota di volatilità come quota della perdita massima possibile. Il nome della misura e il tipo di contributo devono restare visibili.
Fonti
- Dirk Tasche, Capital Allocation to Business Units and Sub-Portfolios: the Euler Principle — fondamenti, condizioni e applicazioni dell’allocazione Euler per misure di rischio.
- Edward E. Qian, On the Financial Interpretation of Risk Contribution: Risk Budgets Do Add Up — interpretazione finanziaria dei contributi e relazione con i budget di rischio.
- Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — base della misura di portafoglio tramite pesi, varianze e covarianze.
- Dirk Tasche, Expected Shortfall and Beyond — proprietà dell’Expected Shortfall e attribuzione dei contributi alle componenti.
- Benjamin Bruder e Thierry Roncalli, Managing Risk Exposures Using the Risk Budgeting Approach — uso dei contributi nella costruzione di portafogli con budget dichiarati.