Ganz einfach — Ein Kapitalgewicht zeigt, wie viel Geld zugewiesen wurde. Ein Risikobeitrag zeigt, wie viel eine Position zur gewählten Gesamtrisikozahl beiträgt.
Der Risikobeitrag zerlegt ein definiertes Portfoliorisikomaß in Teile. Es gibt keinen Beitrag „an sich“: Beiträge zur Volatilität, zum VaR, zum Expected Shortfall oder zu einem Szenarioverlust sind unterschiedliche Größen.
MRC, RC und inkrementelles Risiko
Sei R(w) ein Risikomaß des Exposurevektors w. Der
marginale Risikobeitrag lautet:
MRC_i = ∂R / ∂w_iEr fragt, wie sich das Risiko bei einer kleinen zusätzlichen Einheit lokal ändert. Der Komponentenbeitrag verbindet diese Sensitivität mit der aktuellen Position:
RC_i = w_i × MRC_iInkrementelles Risiko ist dagegen R(w + Δw) − R(w) für eine endliche
Änderung. Es kann Nichtlinearitäten erfassen, die eine lokale Ableitung
übersieht. MRC, RC und inkrementelles Risiko sind daher keine Synonyme.
Wann die Beiträge den Gesamtwert ergeben
Ist R differenzierbar und positiv homogen vom Grad eins, liefert
der Satz von Euler:
R(w) = Σ_i w_i × ∂R/∂w_i = Σ_i RC_iDiese vollständige Zerlegung gilt unter ihren Voraussetzungen. Bei nichtdifferenzierbaren Punkten, ungeeigneten numerischen Verfahren oder einem nicht homogenen Maß kann ein Rest entstehen. Er wird abgestimmt und nicht heimlich einer Position zugeschlagen.
Beispiel Volatilität
Für lineare Renditen und Kovarianzmatrix Σ gilt
σ_p = √(wᵀΣw). Dann ist
MRC_i = (Σw)_i / σ_p und
RC_i = w_i(Σw)_i / σ_p. Der Term (Σw)_i enthält
Eigenrisiko und Kovarianzen. Eine Position mit kleinem Kapitalgewicht kann
deshalb einen großen Beitrag haben, wenn sie volatil und eng mit dem Rest
verbunden ist.
Bei Short-Positionen oder Hedges können Beiträge negativ sein. Das bedeutet in der gewählten lokalen Zerlegung eine Risikominderung, nicht einen garantierten Gewinn im Stress.
Vom Bericht zur Entscheidung
Der Report nennt Risikomaß, Einheit, Horizont, Datenfenster, Modell und Datum. Beiträge werden nach Position, Strategie und Faktor betrachtet. Große oder instabile Beiträge können Konzentration, fehlerhafte Daten oder eine fragile Absicherung zeigen. Vor einer Umschichtung werden Transaktionskosten und das inkrementelle Risiko der tatsächlich geplanten Änderung berechnet.
Typischer Fehler — Ein RC von 25 % als unveränderliche Eigenschaft eines Instruments zu lesen. Er hängt vom gesamten Portfolio, den Gewichten, der Kovarianz und dem gewählten Risikomaß ab.
Stabilität und Vorzeichen prüfen
Beiträge werden über mehrere plausible Schätzfenster und Szenarien verglichen.
Ein Beitrag, der bei kleinen Inputänderungen das Vorzeichen wechselt, ist keine
stabile Entscheidungsgrundlage. Negative Beiträge können lokal absichern, aber
bei einem Abhängigkeitsbruch positiv werden. Zusätzlich wird geprüft, ob die
Summe der RC_i das berechnete Gesamtrisiko innerhalb einer
dokumentierten numerischen Toleranz rekonstruiert. Ein Rest wird erklärt — etwa
durch Rundung, nichtlineare Komponenten oder eine nicht passende
Zerlegungsmethode — und nicht verborgen.
Quellen
- Tasche, Euler Allocation: Theory and Practice.
- Tasche, Capital Allocation to Business Units and Sub-Portfolios.
- Markowitz, Portfolio Selection.
- Qian, On the Financial Interpretation of Risk Contribution.
- Bruder und Roncalli, Managing Risk Exposures Using the Risk Budgeting Approach.