La contribution au risque attribue une partie d’une mesure agrégée aux composantes du portefeuille. Elle ne constitue pas une propriété permanente d’un actif : elle dépend de sa taille, des autres positions, des dépendances et de la mesure choisie.
En termes simples — Un actif peu volatil peut contribuer beaucoup au risque s’il est très pondéré ou s’il évolue avec le reste du portefeuille. La contribution répond à « combien apporte cette ligne au total dans ce portefeuille précis ? ».
Risque marginal et contribution par composante
Pour une mesure R(w) dépendant des positions ou poids w, la contribution
marginale de la composante i est :
MRCᵢ = ∂R(w) / ∂wᵢElle décrit la variation locale de R lorsque wᵢ change. La contribution
composante est :
RCᵢ = wᵢ × MRCᵢLe MRC est une pente ; le RC combine cette pente avec la taille. Le résultat peut être négatif si une position réduit localement la mesure, sans que la position devienne sans risque.
Décomposition d’Euler
Lorsque R est différentiable et homogène de degré un, le théorème d’Euler
permet :
R(w) = Σᵢ RCᵢCette pleine allocation est utile car les contributions recomposent le total. Elle ne s’applique pas automatiquement à une mesure discontinue, à un payoff avec kink ou à une règle qui n’est pas homogène. Dans ce cas, la méthode doit expliquer le résidu ou utiliser une autre attribution.
Pour la volatilité σₚ = √(wᵀΣw) :
MRCᵢ = (Σw)ᵢ / σₚ ; RCᵢ = wᵢ(Σw)ᵢ / σₚLa matrice de covariance intervient dans chaque contribution. Utiliser seulement la volatilité standalone ignore les relations avec le portefeuille.
Exemple de lecture
Supposons deux composantes également pondérées, de volatilités différentes et positivement corrélées. La plus volatile ne contribue pas nécessairement deux fois plus : sa covariance avec l’autre position et les poids déterminent le résultat. Si une couverture est ajoutée, son RC peut être négatif alors que son exposition brute augmente.
Le rapport publie les entrées, la mesure totale, les MRC, les RC, leur somme et
les pourcentages RCᵢ/R. Les unités restent visibles : une contribution à la
volatilité n’est pas une perte monétaire de scénario.
Du constat au budget
Le budget de risque fixe une cible ex ante ; le RC est le résultat estimé du portefeuille actuel. Modifier un poids peut rapprocher les deux, mais aussi changer toutes les contributions via la covariance.
Le risk parity à contributions égales est un cas particulier. Des contraintes de poids, de liquidité, de levier ou de turnover peuvent empêcher d’atteindre exactement les cibles. L’écart doit être mesuré et accepté ou corrigé selon le mandat.
Limites
Les contributions changent avec les données, la fenêtre et le régime. Une matrice instable peut produire des allocations très variables. Pour les options, une décomposition locale doit être complétée par repricing et scénarios ; pour la liquidité ou le défaut, la différentiabilité peut être une approximation fragile.
Erreur fréquente — Présenter une contribution négative comme une protection garantie. Elle est conditionnelle au point, au modèle et aux dépendances estimées.
Références
- Dirk Tasche, Capital Allocation to Business Units and Sub-Portfolios: the Euler Principle
- Edward E. Qian, On the Financial Interpretation of Risk Contribution: Risk Budgets Do Add Up
- Harry Markowitz, Portfolio Selection
- Paul Glasserman, Philip Heidelberger et Perwez Shahabuddin, Portfolio Value-at-Risk with Heavy-Tailed Risk Factors
- Benjamin Bruder et Thierry Roncalli, Managing Risk Exposures Using the Risk Budgeting Approach