A chi serve questa voce — A chi vuole sapere non solo dove inizia la coda delle perdite stimate, ma anche quanto sono gravi in media gli esiti che la compongono.
L'Expected Shortfall al livello α aggrega i quantili della distribuzione di perdita oltre α:
ESα(L) = 1 / (1 − α) × ∫ da α a 1 di VaRu(L) du
Per una distribuzione continua senza massa sulla soglia, questa quantità si può leggere come la perdita media condizionata agli esiti che raggiungono o superano il VaR. Un ES al 97,5% descrive quindi la media del 2,5% peggiore della distribuzione stimata. Non è il peggior esito possibile.
In parole semplici — Il VaR indica il bordo della coda; l'ES riassume la gravità media degli esiti nella coda, sotto le stesse assunzioni.
VaR ed ES a confronto
| Aspetto | VaR | Expected Shortfall |
|---|---|---|
| Domanda | Dove si trova il quantile scelto? | Quanto è grave in media la coda oltre quel livello? |
| Informazione di coda | Non misura la dimensione degli esiti oltre la soglia | Li aggrega in una media di coda |
| Peggior caso | No | No |
| Dipendenza dal modello | Sì | Sì, con particolare sensibilità ai pochi dati estremi |
| Coerenza | Non è in generale subadditivo | La definizione appropriata di ES è una misura coerente |
Un ES maggiore del VaR allo stesso livello non prova che uno dei due sia “corretto”: i due numeri rispondono a domande diverse sulla stessa distribuzione stimata.
Distribuzioni discontinue e nome CVaR
Quando la distribuzione ha una massa di probabilità esattamente sul quantile,
la formula intuitiva E[L | L ≥ VaRα] può attribuire troppo peso agli esiti
sulla soglia. La definizione generale deve includere solo la quota necessaria
di quella massa per formare la coda di probabilità 1 − α; la rappresentazione
come integrale dei quantili evita l'ambiguità.
CVaR, Conditional Value at Risk, tail mean ed Expected Shortfall sono spesso usati come sinonimi, soprattutto con distribuzioni continue. La letteratura contiene però varianti che possono divergere in presenza di discontinuità. Una pagina, un modello o un report devono perciò dichiarare la definizione impiegata invece di assumere l'equivalenza dal solo nome.
Stima, controllo e limiti
Per rendere interpretabile un ES servono le stesse coordinate del VaR: perimetro, unità, orizzonte, livello, data, dati, metodo di rivalutazione e assunzioni sulle dipendenze. In più, la stima della coda può essere instabile perché usa una frazione ridotta delle osservazioni.
- una finestra storica può non contenere stress pertinenti;
- una distribuzione parametrica può descrivere male asimmetria e code;
- una simulazione eredita dinamiche, correlazioni e pricing del modello;
- illiquidità, salti, default e costi possono mancare o essere sottostimati;
- validazione e benchmark alternativi riducono l'incertezza, non la eliminano.
Per questo l'ES va letto insieme a stress test, analisi delle concentrazioni e controllo del rischio di modello.
Il parametro di Basilea non è un valore universale
Nel proprio quadro per i modelli interni di rischio di mercato, Basilea usa un ES giornaliero a una coda e al 97,5%, calibrato anche a un periodo di stress e scalato per orizzonti di liquidità. Queste specifiche rispondono a un preciso uso prudenziale. Non fissano automaticamente livello, orizzonte o metodo per un fondo, un broker, un trader o un altro portafoglio.
Errore tipico — Chiamare l'ES “perdita massima media”. È una media su una regione della distribuzione stimata, non un limite superiore.
Fonti
- Basel Framework — MAR33, calculation of expected shortfall
- Basel Committee — Explanatory note on the minimum capital requirements for market risk
- Acerbi e Tasche — On the coherence of Expected Shortfall
- Artzner, Delbaen, Eber e Heath — Coherent Measures of Risk