L’Expected Shortfall estime la perte moyenne dans la queue située au-delà d’un quantile. Elle complète la Value at Risk, qui indique où commence cette région sans en décrire la profondeur.
En termes simples — La VaR trace un seuil ; l’Expected Shortfall demande combien on perd en moyenne une fois ce seuil dépassé.
Définition intuitive et formelle
Avec des pertes positives et une distribution continue, au niveau α :
ESα = E[L | L ≥ VaRα]Une écriture plus générale utilise l’intégrale des quantiles :
ESα = 1 / (1 − α) × ∫α¹ VaRu duLa seconde formule gère mieux les distributions avec masses de probabilité au seuil. Comme pour la VaR, il faut déclarer horizon, niveau, convention de signe, portefeuille, devise, données et méthode.
Exemple : si les 1 % pires pertes d’un modèle ont une moyenne de 170 000 €, l’ES à 99 % vaut 170 000 € selon cette estimation. Elle ne signifie pas que la prochaine exception coûtera ce montant, ni que les pertes sont plafonnées.
Estimation
Une estimation historique trie les pertes simulées à partir de mouvements observés puis moyenne la queue retenue. Avec peu d’observations, la queue peut ne contenir que quelques cas : l’incertitude devient élevée et la valeur change fortement quand la fenêtre bouge.
Une approche paramétrique calcule ou simule l’ES à partir d’une distribution. Le résultat dépend alors explicitement du choix des queues, des corrélations et des paramètres. Une Monte Carlo permet de revaloriser des positions non linéaires, mais ne compense pas une dynamique de facteurs mal spécifiée.
L’estimation doit donc accompagner le nombre d’observations de queue, les intervalles ou analyses de sensibilité, et les scénarios qui ne sont pas représentés par les données.
Propriétés et agrégation
Sous des définitions appropriées, l’Expected Shortfall appartient aux mesures cohérentes étudiées dans la littérature : notamment, la diversification n’est pas pénalisée par une violation de sous-additivité. Cette propriété mathématique ne rend pas l’estimation exacte. Une dépendance de queue ou un facteur manquant peut encore produire une agrégation trop optimiste.
La contribution d’une position à l’ES exige une méthode de décomposition cohérente avec le modèle. Additionner des ES standalone ignore les dépendances ; leur soustraction suppose des couvertures qui peuvent disparaître sous stress.
Validation et stress
L’ES est plus difficile à backtester directement que le quantile VaR. Les cadres de risque combinent souvent plusieurs diagnostics : exceptions VaR, tests conjoints, attribution du P&L, stabilité des facteurs et comparaison avec des scénarios.
Le test de résistance reste indispensable. L’ES moyenne les pertes que le modèle sait produire ; elle ne décrit pas un défaut de marché, une fermeture de plateforme ou un choc de liquidité absent de la simulation.
Erreur fréquente — Présenter l’ES comme la « pire perte moyenne possible ». Il s’agit de la moyenne d’une queue définie par un modèle, non de toutes les catastrophes possibles.
Références
- Basel Framework — MAR33
- Basel Committee — Minimum capital requirements for market risk: explanatory note
- Carlo Acerbi et Dirk Tasche, On the Coherence of Expected Shortfall
- Philippe Artzner et al., Coherent Measures of Risk