A quién sirve esta entrada — Cada media móvil del libro — half-span, full-span, inversa — se apoya en esta derivación. Cuatro datos que llevarse: lag de medio span, cero exacto en el periodo igual al span, lóbulo de error constante en −0,23, y la ley de la naturaleza que salva todo el conjunto.
Fuente: J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970 — Apéndice IV, Frequency Response Characteristics of a Centered Moving Average (pp. 207–211, Fig. A IV-1, A IV-2).
Prerrequisitos
Las medias móviles cíclicas (cap. 3/6) y, para el contexto, los filtros numéricos (cap. 11).
La derivación
Se introduce en la media una cosinusoide pura, eᵢ = A·cos(ωt), y se calcula la salida centrada. Agrupando los términos, el cociente salida/entrada — el amplitude ratio — resulta:
aᵣ = (1 + 2f) / n — donde f = cos(ωtₙ) + cos(2ωtₙ) + … + cos(((n−1)/2)·ωtₙ)
con n el número de elementos y tₙ el espaciado de los datos. De esta fórmula exacta se derivan todas las propiedades — y las figuras de abajo la dibujan tal cual.
Las cuatro propiedades
- Fase: la salida está exactamente en fase con la entrada en todo el espectro — salvo las inversiones de fase (180°) en los lóbulos de error impares. El lag es constante: la mitad del span.
- Cutoff: la respuesta se anula la primera vez cuando el periodo del ciclo es igual al span (n·tₙ). Elegir el span es elegir qué componente desaparece por completo — es la regla del span completo y medio span.
- El lóbulo −0,23: el primer lóbulo de error tras el cutoff vale −0,23, constante, independiente de los parámetros; los lóbulos siguientes alternan de signo y se reducen. Las altas frecuencias «se filtran» en la salida atenuadas, en fase o en contrafase: es el creep-through que hay que reconocer cuando se buscan los giros de las componentes.
- Un solo mando: las características están fijadas por completo por el span — no hay nada más que diseñar.
Por qué funciona un filtro tan mediocre — Los lóbulos de error son oscilaciones de Gibbs, culpa de las esquinas cuadradas de la función de peso. Como «suavizador» genérico la MA sería pobre — «si no fuera porque el espectro de los precios muestra constantemente la relación aᵢ = k/ωᵢ derivada en el Apéndice I. Es solo la brusca atenuación natural de las altas frecuencias de los precios lo que permite usar un filtro con características relativamente tan pobres».
La inversa: el espejo
La inversa tiene respuesta 1 − aᵣ: se comporta como high-pass, de nuevo con lóbulos de error de hasta el 23% — pero con una diferencia valiosa: ninguna inversión de fase, nunca; la salida está perfectamente en fase en todo el espectro, con el mismo lag de medio span. La respuesta toca 1 en el periodo = span y en los lóbulos lo supera casi en ¼: cuando se usa la inversa para estimar la amplitud de una componente, hay que corregir ese exceso.
Ficha resumen
| Propiedad | Valor |
|---|---|
| Respuesta exacta | aᵣ = (1 + 2f)/n, f = Σ cos(k·ωtₙ) |
| Lag | ½ span, constante |
| Primer cero | periodo = span (n·tₙ) |
| Primer lóbulo de error | −0,23, constante, en contrafase |
| Aliasing | primera ventana en periodo = tₙ |
| Inversa | 1 − MA: high-pass, siempre en fase, overshoot ≈ +0,23 |
| Salvavidas | la ley aᵢ = k/ωᵢ de los precios (Apéndice I) |
Enlaces
- Apéndice I — la ley k/ω que hace utilizable la MA
- Half-span y full-span — el uso operativo del span
- La inversa — el espejo high-pass
- Los filtros de Ormsby — cómo se redondean las esquinas
- Los apéndices — índice
- Tradición Hurst — índice de capítulos