En una frase — Una media móvil deja pasar sobre todo los movimientos lentos y atenúa los rápidos. Su curva de respuesta indica cuánto queda de cada frecuencia, pero no qué hará después el precio.
¿Qué pregunta resuelve el Apéndice IV?
Una media móvil de once puntos sustituye cada valor por la media de once observaciones cercanas. El gráfico queda más regular, pero «más regular» no permite saber qué oscilaciones se conservaron, eliminaron o invirtieron.
En el Apéndice IV de The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst introduce en el filtro una onda cosenoidal cada vez. Al comparar la amplitud y la fase de la salida con las de la entrada obtiene la respuesta en frecuencia de la media móvil centrada.
De la media a la curva
Sea n un número impar de observaciones, h=(n−1)/2 y Ω=ωΔt la frecuencia angular por muestra. La media centrada asignada al instante c es:
y_c = (1/n) Σ x_{c+k}, con k desde −h hasta +h.
La respuesta con signo derivada por Hurst puede escribirse de dos formas equivalentes:
H_c(Ω) = (1/n)[1 + 2 Σ cos(kΩ)]
H_c(Ω) = sin(nΩ/2) / [n sin(Ω/2)]
La suma va de k=1 a h. En frecuencia cero la respuesta vale uno: una componente constante pasa completa. El valor absoluto |H_c| es el cociente de amplitudes; el signo indica si la salida permanece en fase o se invierte 180°.
Cómo se lee la respuesta
El primer cero aparece en Ω=2π/n, correspondiente al periodo T=nΔt según la convención del libro. Una componente con ese periodo desaparece de la salida. Hay otros ceros en múltiplos de frecuencia: una media móvil no tiene un único límite limpio, sino una sucesión de lóbulos.
Justo después del primer cero la respuesta se vuelve negativa. Hurst resume el primer mínimo como −0,23 y lo emplea como regla gráfica independiente del span. La fórmula discreta exacta muestra una pequeña dependencia de n: con once puntos el mínimo es aproximadamente −0,223. Por tanto, −0,23 es una aproximación histórica útil, no una constante universal exacta para cualquier longitud.
Hurst los denomina lóbulos de error de Gibbs; la terminología moderna los describe como lóbulos laterales de la ventana rectangular. Las frecuencias altas pueden reaparecer atenuadas, alternativamente en fase y en contrafase. Es el creep-through: una línea suave aún puede contener residuos no deseados.
Fase cero y retraso son cuestiones distintas
Una ventana centrada de once puntos usa cinco observaciones a la izquierda, el punto central y cinco a la derecha. Si el resultado se dibuja en el centro, los máximos de las componentes con respuesta positiva quedan alineados en la muestra histórica. Ese es el sentido de fase cero de la representación centrada.
Sin embargo, el valor asignado a c solo puede calcularse cuando ha llegado c+5. La implementación causal equivalente tiene un retraso de grupo de h=(n−1)/2 muestras. Fase cero no significa disponibilidad inmediata y al borde más reciente le falta media ventana.
Hurst llama al retraso «medio span» y usa span=nΔt. En la indexación FIR moderna, n puntos ocupan n−1 intervalos y el retraso causal exacto es (n−1)Δt/2. Las frases usan convenciones de span distintas; ninguna permite rellenar el borde con datos futuros.
La media móvil inversa
La operación inversa resta la media centrada de la entrada. Su respuesta es:
H_inv(Ω) = 1 − H_c(Ω).
Las componentes lentas se reducen y las rápidas pasan con más fuerza, por lo que se comporta como un filtro pasa-altos. Cuando H_c entra en el lóbulo negativo, H_inv supera uno; con once puntos alcanza aproximadamente 1,223 en el primer máximo. Este exceso puede ampliar una componente, así que la amplitud observada no es una medida sin distorsión.
Qué demuestra el cálculo y qué no
La comprobación reproducible usa una ventana sintética de once puntos. Confirma H_c(0)=1, el primer cero en 2π/11, el lóbulo cercano a −0,223 y la identidad entre un valor centrado en c y el mismo valor causal disponible en c+5.
Son propiedades matemáticas del filtro sobre la misma muestra. No constituyen una validación independiente del modelo cíclico, no miden una ventaja operativa y no son un error de previsión. Un uso predictivo necesita una regla fijada de antemano y una prueba fuera de muestra.
Hurst justifica el uso práctico de la media mediante la relación amplitud-frecuencia propuesta para los precios en el Apéndice I. Esa relación pertenece a su modelo histórico; no es una ley universal que pueda asumirse sin comprobar mercado, periodo y datos.
Límites operativos
El span no es un cutoff perfecto. El primer cero elimina un periodo exacto, mientras que los lóbulos dejan pasar otras frecuencias.
Los bordes dependen de la implementación. Eliminar media ventana, desplazar la salida o completar datos produce resultados diferentes y debe declararse.
El error de diseño no es error de previsión. La diferencia entre respuesta deseada y realizada describe el filtro; no anticipa la dirección del mercado.
Fuentes
- J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, Apéndice IV, pp. 207–211 — derivación, primer cero, lóbulos, inversa e implicaciones declaradas en el libro.
- MIT OpenCourseWare, 6.02 Lecture 12: Filters and composition, diapositiva 15 — respuesta en frecuencia de un moving-average filter.
- MIT OpenCourseWare, Digital Signal Processing: linear-phase FIR systems — simetría, centrado y fase lineal en filtros FIR.
- SciPy,
freqzygroup_delay— cálculo moderno de la respuesta compleja y del retraso de grupo.
Enlaces
Espectro del DJIA · Medias móviles cíclicas · Media móvil inversa · Filtros de Ormsby · Apéndices de Hurst