En una frase — La interpolación parabólica usa tres valores ya conocidos para estimar los puntos situados entre ellos. Hurst la emplea para colocar en una misma malla temporal salidas de filtros calculadas con intervalos distintos.
¿Qué problema resuelve?
Un filtro puede producir un valor cada cinco semanas y otro cada tres. Antes de comparar, sumar o restar ambas salidas se necesitan valores en los mismos instantes.
En el Apéndice V de The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst construye una parábola local con tres puntos consecutivos y la evalúa entre el punto central y el siguiente. Declara que, para los gráficos del libro, llevó así los resultados de los filtros a un intervalo común de una semana.
Cómo funciona la ventana de tres puntos
1 — Fijar la terna
Las muestras consecutivas son S₋₁, S₀ y S₊₁, separadas por un intervalo constante tₙ. El tiempo local se fija en cero sobre la muestra central S₀.
2 — Calcular la parábola
La forma local es S(t) = a₀ + a₁t + a₂t². En el caso simétrico de Hurst los coeficientes son:
a₀ = S₀
a₁ = (S₊₁ − S₋₁)/(2tₙ)
a₂ = (S₊₁ + S₋₁ − 2S₀)/(2tₙ²)
Por tanto:
S(t) = S₀ + a₁t + a₂t², con 0 < t < tₙ.
Los nuevos valores pertenecen al tramo ya delimitado por S₀ y S₊₁. No son datos recién observados: son estimaciones producidas por la curva.
3 — Desplazar una muestra
Después de rellenar ese tramo, la ventana avanza. El antiguo S₊₁ pasa a ser el nuevo centro, entra otro punto por la derecha y se calcula el segmento siguiente.
Las parábolas adyacentes comparten el valor en el nodo común, por lo que la serie muestreada sigue siendo continua allí. Sin embargo, sus pendientes no tienen por qué coincidir cuando una parábola da paso a la siguiente.
Qué significa «exacta»
Tres puntos aportan tres ecuaciones para tres coeficientes. La parábola pasa exactamente por S₋₁, S₀ y S₊₁: el residuo en los nodos es cero por construcción.
Esto no demuestra que la forma real entre los nodos sea parabólica ni constituye una validación independiente. La teoría general de interpolación sitúa el error entre los puntos conocidos; depende de la regularidad de la función y de la distancia entre muestras.
Hurst deriva el resultado mediante ecuaciones de mínimos cuadrados. Sin embargo, en el caso específico de tres puntos el sistema está exactamente determinado; no quedan observaciones adicionales con las que medir la adecuación estadística de la parábola.
Interpolación, extrapolación y previsión
Para estimar un instante entre S₀ y S₊₁, S₊₁ ya debe conocerse. El valor intermedio solo está disponible después de que llegue la muestra que cierra el intervalo.
Extender la parábola más allá de S₊₁ es extrapolación y no forma parte del procedimiento descrito en el Apéndice V. El error de interpolación no es un error de previsión: el primero se refiere a puntos internos de un intervalo observado; el segundo, a datos futuros no utilizados en el cálculo.
El método sirve, por tanto, para la reconstrucción histórica y la alineación numérica de las salidas. No hace disponible en tiempo real el último tramo todavía incompleto mientras falte el punto de la derecha.
Límites y decisiones de implementación
Tipo de serie. Hurst destina la técnica a salidas pasa-banda con poco contenido de alta frecuencia. Datos high-pass, ruido o giros bruscos pueden exigir más puntos u otro método.
Densidad de las muestras. Cuanto más rápida sea la dinámica respecto de tₙ, peor describirán tres puntos lo que sucede entre ellos. Reducir el espaciado ayuda, pero no convierte la interpolación en observación.
Bordes. La fórmula central necesita un punto a la izquierda y otro a la derecha. El tratamiento del primer y último intervalo — omisión, extensión de la primera o última terna u otra regla — debe declararlo la implementación; Hurst no especifica una política general de bordes.
Una comprobación reproducible
La figura usa un seno sintético de periodo 60, muestreado cada 5 unidades: doce puntos por ciclo. Al aplicar la ventana de Hurst y remuestrear cada unidad, el error absoluto máximo es aproximadamente 0,009, es decir, 0,9% de la amplitud unitaria; en las muestras originales es cero.
Es una comprobación determinista de la fórmula, no un límite general ni una medición sobre precios. El resultado cambia al modificar la frecuencia, el ruido o la distancia entre puntos.
Fuentes
- J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, Apéndice V, pp. 212–214 — mallas incompatibles, ventana deslizante, fórmula y límites históricos.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.3 Interpolation — polinomio de interpolación y término de error entre nodos.
- SciPy, Extrapolation tips and tricks — diferencia operativa entre evaluar dentro y extender fuera del dominio conocido.
Enlaces
Filtros numéricos de Ormsby · Método de Prony · Análisis espectral · Apéndices de Hurst