A quién sirve esta entrada — Después del band-pass queda una pregunta: qué sinusoides hay exactamente en la salida. Este apéndice da el método para medir su frecuencia, amplitud y fase de forma objetiva — con un bonus: «suavizado de las altas frecuencias obtenido sin ningún coste de lag adicional».
Fuente: J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970 — Apéndice VI, Trigonometric Curve Fitting (pp. 215–216 y ss.). Es la familia de técnicas conocida como método de Prony.
Prerrequisitos
Los filtros de Ormsby y — para el hermano sencillo — la recta de mínimos cuadrados del cap. 11.
La idea
La salida de un band-pass contiene un número reducido de componentes: se postula la forma S(t) = Σ (Aᵢ·cos ωᵢt + Bᵢ·sin ωᵢt) con m componentes, y con N > 2m puntos de salida se escriben las N ecuaciones que exigen la forma verdadera en cada instante. El ajuste de mínimos cuadrados se obtiene con el procedimiento generalizado del apéndice — que vale «para cualquier función racional», no solo para las sinusoides:
- Se forma la matriz de los coeficientes de las incógnitas (las A y las B) más los términos conocidos.
- A partir de esta se construye una segunda matriz: se multiplican los elementos de cada fila por el elemento de la primera columna y se suman por columnas (primera fila nueva); luego por el elemento de la segunda columna (segunda fila); y así sucesivamente — las ecuaciones normales, 2m ecuaciones con 2m incógnitas.
- La solución simultánea da las A y las B — es decir, para cada componente, amplitud compuesta √(A²+B²) y fase.
¿Y las frecuencias?
Cuando las ωᵢ no se conocen de antemano, el método las obtiene con la misma lógica: la ecuación que las determina — de la forma 2cos(mω) − 2α₁cos((m−1)ω) − … − αₘ = 0 — se expresa en polinomios de Chebyshev (T₀(x) = 1, T₁(x) = x, y la recurrencia que genera los demás), reduciendo el problema a resolver un polinomio en cos ω. Es el núcleo «a la Prony»: frecuencias, luego amplitudes y fases, todo a partir de los datos.
Ficha — Para qué sirve, en la práctica
- Medida objetiva de frecuencia/amplitud/fase a partir de la salida de un filtro — se acabaron las lecturas a ojo sobre el gráfico.
- Suavizado gratis: el ajuste elimina el residuo de alta frecuencia sin añadir lag — a diferencia de un filtro adicional.
- Con la interpolación parabólica, cierra la cadena: filtra → reconcilia los espaciados → mide las sinusoides.
Ficha resumen
| Elemento | Valor |
|---|---|
| Forma postulada | S(t) = Σ (Aᵢcos ωᵢt + Bᵢsin ωᵢt), N > 2m puntos |
| Método | Mínimos cuadrados generalizados (ecuaciones normales vía matriz) |
| Frecuencias | De un polinomio en cos ω, vía polinomios de Chebyshev |
| Salida | ωᵢ, amplitud √(Aᵢ²+Bᵢ²), fase — objetivas |
| Bonus | Suavizado HF sin lag adicional |
Enlaces
- Apéndice V — el paso anterior de la cadena
- Los filtros de Ormsby — de dónde vienen las series
- El análisis de Fourier — el mapa inicial del espectro
- Los apéndices — índice
- Tradición Hurst — índice de capítulos