Análisis de Fourier según Hurst

¿Cómo funciona el análisis de Fourier según Hurst?

En el capítulo 11 de The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Hurst presenta un procedimiento atribuido a Cornelius Lanczos. Parte de precios observados a intervalos regulares, separa cada frecuencia en un componente coseno y otro seno, y después combina el par en una amplitud.

Es un cambio de perspectiva. La serie original dice cuándo subió o bajó el precio; el espectro dice cuánto aporta cada frecuencia a la reconstrucción del tramo analizado.

El contrato de los datos

Hurst exige datos equiespaciados: por ejemplo, un cierre diario o semanal, siempre elegido con el mismo criterio. Utiliza un número impar m de observaciones en orden cronológico, de modo que haya un dato exactamente en el centro.

Una ventana más larga permite distinguir frecuencias más próximas. Una tasa de muestreo mayor permite observar oscilaciones más rápidas. Añadir puntos sin declarar el intervalo, los datos ausentes y las transformaciones no mejora automáticamente el análisis.

El procedimiento histórico en cuatro pasos

1. Abrir la serie alrededor del centro. La primera secuencia contiene el valor central y luego las sumas de pares equidistantes; la última suma se divide entre dos. La segunda empieza en cero y usa diferencias “más reciente menos más antiguo”; su último elemento también es cero.
2. Construir la rejilla. Sea q = (m−1)/2; Hurst define Z = π/q. Las frecuencias angulares son ωₖ = kZ/Δt, con k de 0 a q y Δt igual al intervalo entre observaciones.
3. Calcular las dos coordenadas. Las sumas ponderadas con cosenos producen aₖ; las ponderadas con senos producen bₖ. Son dos vistas de la misma frecuencia, desfasadas un cuarto de ciclo.
4. Componer la amplitud. Para cada frecuencia, Aₖ = √(aₖ² + bₖ²). Al representar Aₖ frente a frecuencia, frecuencia angular o periodo se obtiene el espectro.

Esta forma centrada, incluido su tratamiento particular de los extremos, es la receta manual recogida en el libro. Un programa moderno puede calcular la misma familia de componentes mediante una DFT o FFT, pero siempre deben declararse el signo, la normalización y el orden de los coeficientes.

Un ejemplo mínimo

Con m = 9 observaciones semanales, q = 4 y Z = π/4. El procedimiento examina 0, π/4, π/2, 3π/4 y π radianes por semana. Excluido el cero, los periodos correspondientes son 8, 4, unos 2,67 y 2 semanas.

El último punto, π radianes por intervalo, es el límite de Nyquist: con un dato semanal no puede distinguirse correctamente una oscilación más rápida que un ciclo cada dos semanas. Una frecuencia superior puede reaparecer bajo una identidad falsa, fenómeno llamado aliasing.

Amplitud, fase y reconstrucción

El par (aₖ, bₖ) determina la amplitud y la fase del componente k. La amplitud es la longitud del vector; la fase es su ángulo. El signo exacto de una fórmula de fase depende de la convención usada para seno, coseno y transformada, por lo que no debe copiarse entre programas sin comprobar su documentación.

La suma de los componentes puede reconstruir la ventana con gran precisión. Es una comprobación matemática de la descomposición sobre los mismos datos, no un error de previsión. Extraer los coeficientes y evaluarlos en ese mismo tramo es análisis in-sample.

Resolución y distorsiones de la ventana

En notación moderna, una ventana de N observaciones separadas por Δt tiene un espaciado típico entre frecuencias de Δf = 1/(NΔt). Una ventana más larga afina la rejilla; un muestreo más frecuente desplaza el límite de Nyquist, pero son mejoras diferentes.

Si la ventana no contiene un número entero de oscilaciones, la energía se reparte entre bins cercanos: es la spectral leakage. Media, tendencia, valores ausentes, elección de ventana y normalización pueden cambiar los picos. Estas decisiones forman parte del resultado y deben ser reproducibles.

Qué registra el libro sobre el DJIA

El capítulo 11 habla de 2.300 cierres semanales del Dow Jones Industrial Average. El Apéndice I especifica, en cambio, 2.229 observaciones del 29 de abril de 1921 al 25 de junio de 1965 y una resolución de 0,568 radianes al año. Se conserva la diferencia: “2.300” parece una descripción redondeada del proyecto, mientras que el Apéndice aporta el recuento y el intervalo precisos.

Hurst también advierte que casi cualquier forma posee un espectro: incluso los puntos de una línea trazada con regla pueden reconstruirse con componentes oscilantes. El espectro no prueba que el proceso original sumara realmente esas ondas. Si esa condición no se cumple, escribe, la simple extrapolación de periodicidades no permite predecir.

Cómo usarlo con rigor hoy

Primero se declaran serie, intervalo, tratamiento de datos, ventana y frecuencias que se examinarán. Después se comparan los picos entre subperiodos y con estimadores complementarios. Si el objetivo es la previsión, coeficientes y reglas se congelan en el pasado y se miden en datos posteriores nunca usados para seleccionarlos.

Fourier es, por tanto, una herramienta excelente para describir y formular hipótesis. Pasar de una buena reconstrucción a una regla predictiva exige una prueba separada fuera de muestra.

Fuentes

• J. M. Hurst, The Profit Magic of Stock Transaction Timing, Prentice-Hall, 1970, capítulo 11, pp. 171–175; Apéndice I, pp. 188–200 — procedimiento de Lanczos, recuentos del DJIA y advertencia sobre la extrapolación.
• Ficha bibliográfica de Google Books de la edición de Prentice-Hall de 1970.
• NIST/SEMATECH, Spectral Plot — Engineering Statistics Handbook — frecuencias dominantes y lectura del espectro.
• NumPy, Discrete Fourier Transform — convenciones modernas de DFT, frecuencia, amplitud y orden de coeficientes.

Enlaces

• Análisis espectral según Hurst — marco general y límites inferenciales
• Filtros numéricos de Ormsby — aislamiento de bandas candidatas
• Apéndice I: espectro del DJIA — aplicación histórica del libro
• Descomposición del DJIA — reconstrucción frente a previsión
• Tradición Hurst — recorrido histórico completo