Écart-type des rendements

L’écart-type mesure la dispersion d’une série autour de sa moyenne et s’exprime dans la même unité que la variable. Appliqué aux rendements périodiques, il est souvent appelé volatilité historique. C’est la racine carrée de la variance ; il ne mesure directement ni perte maximale, ni liquidité, ni risque de défaut, ni dépendance dans les queues.

Un écart-type n’est interprétable qu’avec la série, la fréquence, la fenêtre, la devise, le type de rendement et la convention statistique. La dispersion des rendements quotidiens ne se compare pas directement à celle des rendements mensuels ; une série nette de coûts diffère d’une série brute ; des rendements lissés par des valorisations peu fréquentes peuvent montrer une volatilité artificiellement faible.

Population, échantillon et rendements

Pour N observations rₜ et leur moyenne arithmétique r̄, l’écart-type descriptif de la population est :

Lorsque les observations sont un échantillon d’une population plus large, une estimation courante emploie N−1 au dénominateur :

Les deux formules reposent sur des conventions différentes. Avec peu de données, l’écart peut être matériel. Logiciels et fournisseurs n’adoptent pas toujours le même réglage par défaut : un rapport reproductible indique la convention.

Pour un portefeuille, on calcule l’écart-type de sa série de rendements, ou une estimation ex ante à partir des pondérations et de la matrice de covariance :

La seconde est une estimation de modèle fondée sur des entrées ; la première décrit une histoire observée. Elles ne doivent pas être toutes deux étiquetées simplement « risque » sans préciser leur nature et leur date.

Rendements simples, logarithmiques et totaux

Le choix de la série précède le calcul :

• les rendements simples se composent géométriquement et représentent la variation en pourcentage entre deux valeurs ;
• les rendements logarithmiques sont additifs dans le temps pour des valeurs positives, mais ne s’additionnent généralement pas entre actifs pour former le rendement du portefeuille ;
• le price return exclut les revenus, tandis que le total return inclut dividendes ou coupons selon une convention ;
• les rendements en devise locale et en devise de référence incorporent des risques différents ;
• les rendements bruts et nets ont des distributions différentes lorsque coûts ou frais varient dans le temps.

Employer des niveaux de prix non stationnaires à la place des rendements peut produire une mesure dépourvue du sens recherché.

Annualisation : quand la racine du temps est valable

Une procédure courante annualise un écart-type périodique en le multipliant par la racine du nombre de périodes :

Pour des données mensuelles, m peut valoir 12 ; pour des données quotidiennes, le nombre dépend du calendrier et de la série. La relation exige des hypothèses sur l’échelle de la variance, souvent formulées comme des rendements non autocorrélés et distribués de façon stable. Autocorrélation, volatilité variable, données manquantes, lissage ou marchés ouverts 24 h/24 peuvent rendre l’approximation trompeuse.

Andrew Lo montre que les règles mensuelles usuelles d’annualisation du ratio de Sharpe peuvent échouer en présence de corrélation sérielle ; le problème vient précisément de l’écart-type au dénominateur. Écrire « 252 » ou « 365 » sans décrire le calendrier ne rend pas le résultat comparable.

Ce qu’il saisit et ce qu’il ne saisit pas

L’écart-type accorde le même poids quadratique aux écarts au-dessus et au-dessous de la moyenne. Cette symétrie convient lorsque tout écart rend le résultat moins prévisible ; elle peut être moins adaptée à l’investisseur qui distingue gains inattendus et pertes. Le ratio de Sortino remplace la volatilité totale par une déviation baissière autour d’une cible, mais introduit d’autres conventions.

L’écart-type :

• n’identifie pas la forme des queues ;
• ne décrit pas l’ordre temporel des rendements ;
• ne distingue pas une perte progressive d’un gap ;
• peut être instable d’un régime à l’autre ;
• peut être sous-estimé par des prix périmés ou des modèles de valorisation ;
• ne prédit pas avec certitude la dispersion future.

Il doit donc être complété par la distribution, le drawdown, les scénarios, la liquidité et la qualité des données.

Exemple reproductible

Cinq rendements hypothétiques en pourcentage sont 1, −1, 2, 0, −2. Leur moyenne est nulle. La somme des carrés des écarts vaut 1 + 1 + 4 + 0 + 4 = 10.

• écart descriptif avec N : √(10/5) ≈ 1,414% ;
• estimation empirique avec N−1 : √(10/4) ≈ 1,581%.

Les deux résultats peuvent être corrects dans leur convention. L’échantillon est trop petit pour fonder une conclusion opérationnelle et l’exemple ne prescrit aucun seuil.

Liste de contrôle pour la comparaison

Avant de comparer deux nombres, vérifier :

1. même fréquence et même intervalle ;
2. même calendrier et même traitement des données manquantes ;
3. même devise et même politique de change ;
4. rendements simples ou logarithmiques ;
5. rendement de prix ou rendement total ;
6. brut ou net et coûts inclus ;
7. échantillon ou population ;
8. fenêtre croissante ou glissante ;
9. annualisation et hypothèses ;
10. nature ex ante ou ex post.

Sources

• NIST/SEMATECH, Measures of Scale — Engineering Statistics Handbook — définitions et propriétés des mesures de dispersion.
• Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — rôle des variances et covariances dans le portefeuille.
• William F. Sharpe, The Sharpe Ratio, The Journal of Portfolio Management (1994) — usage de l’écart-type des rendements différentiels et conventions ex ante et ex post.
• Andrew W. Lo, The Statistics of Sharpe Ratios, Financial Analysts Journal (2002) — échantillonnage, autocorrélation et limites de l’annualisation.
• CFA Institute, Portfolio Performance Evaluation — 2026 refresher reading — utilisation coordonnée et limites des mesures de risque et de performance.

Liens

• Construction de portefeuille et performance
• Covariance
• Corrélation
• Ratio de Sharpe
• Ratio de Sortino
• Drawdown maximal