Für wen ist dieser Artikel gedacht? — Für alle, die die Schwankung von Instrumenten, Strategien oder Portfolios vergleichen und die dahinterliegenden Stichproben- und Annualisierungsentscheidungen verstehen wollen.
Die Standardabweichung misst die Streuung einer Reihe um ihren Mittelwert und besitzt dieselbe Einheit wie die Variable. Für Periodenrenditen wird sie oft historische Volatilität genannt. Sie misst nicht direkt Maximum Drawdown, Liquidität, Ausfall oder Tail-Abhängigkeit. Ohne Reihe, Frequenz, Fenster, Währung, Renditeart und statistische Konvention ist eine Zahl nicht interpretierbar. Geglättete Bewertungen können Volatilität künstlich senken.
Grundgesamtheit und Stichprobe
Für N Renditen rₜ und Mittel r̄ gilt
deskriptiv für die Grundgesamtheit:
σ = √[(1/N) × Σₜ(rₜ − r̄)²]Als verbreitete Stichprobenschätzung:
s = √[(1/(N−1)) × Σₜ(rₜ − r̄)²]Bei wenigen Daten ist der Unterschied materiell. Für ein Portfolio kann man die beobachtete Renditereihe auswerten oder ex ante Gewichte und Kovarianzmatrix verwenden:
σₚ = √(wᵀΣw)Das eine beschreibt Historie, das andere ist modellbasiert. Beides darf nicht ohne Datum und Art nur „Risiko“ heißen.
Renditewahl und Annualisierung
Einfache und logarithmische Renditen, Price und Total Return, Lokal- und Basiswährung sowie Brutto- und Nettoserien können verschiedene Verteilungen erzeugen. Preisniveaus statt Renditen liefern oft nicht die beabsichtigte Kennzahl. Eine übliche Annualisierung ist:
σ_jährlich ≈ σ_Periode × √mBei Monatsdaten kann m = 12 sein; bei Tagesdaten hängt es vom
Kalender ab. Die Wurzel-Zeit-Regel setzt eine passende Varianzskalierung voraus,
häufig stabile, nicht autokorrelierte Renditen. Autokorrelation, wechselnde
Volatilität, fehlende Daten, Smoothing und 24/7-Märkte können sie verzerren.
Andrew Lo zeigt entsprechende Probleme für die Sharpe-Annualisierung.
Interpretation und Beispiel
Die Standardabweichung gewichtet positive und negative Abweichungen symmetrisch. Sie zeigt weder Reihenfolge noch Tail-Form und unterscheidet keinen langsamen Verlust von einem Gap. Der Sortino Ratio verwendet Downside Deviation relativ zu einem Ziel, bringt aber eigene Konventionen mit. Ergänzend sind Drawdowns, Szenarien, Liquidität und Datenqualität nötig.
Für die Renditen 1, −1, 2, 0, −2 Prozent ist der Mittelwert null
und die Quadratsumme 10. Deskriptiv ergibt sich √(10/5) ≈ 1,414 %,
als Stichprobe √(10/4) ≈ 1,581 %. Beide sind unter ihrer Konvention
richtig; fünf Beobachtungen erlauben keine operative Schwelle.
Vor einem Vergleich müssen Frequenz, Kalender, Missing-Data-Regel, Währung, Renditeform, Price/Total Return, Kosten, N oder N−1, Fenster, Annualisierung und ex-ante/ex-post-Natur übereinstimmen.
Fenster und Datenqualität
Ein rollierendes Fenster zeigt, wie sich eine Schätzung mit den ein- und austretenden Beobachtungen verändert. Es ist weder ein stabiler Parameter noch eine unabhängige Folge von Schätzungen, da benachbarte Fenster viele Daten teilen. Ein expandierendes Fenster nutzt mehr Historie, kann aber alte Regime übergewichten. Die Wahl folgt der Fragestellung und muss vor der Interpretation sichtbar sein.
Bei illiquiden Anlagen ist eine niedrige Standardabweichung besonders kritisch zu prüfen. Modellpreise, seltene Bewertungen und Carry-forward können Renditen glätten und Autokorrelation erzeugen. Eine höhere Bewertungsfrequenz erfindet keine Marktpreise, wenn keine Transaktionen stattgefunden haben. Ergänzende Liquiditäts- und Szenariomaße verhindern, dass geringe beobachtete Streuung mit geringem wirtschaftlichem Risiko gleichgesetzt wird.
Ex ante und ex post nicht vermischen
Eine historische Standardabweichung beschreibt die realisierte Reihe. Eine prognostizierte Volatilität kann dagegen exponentielle Gewichtung, Faktormodelle, implizite Informationen oder Regimeannahmen verwenden. Gleiche Einheit und gleiche Bezeichnung machen die Werte nicht methodisch identisch. Für Forecasts sind Schätzdatum, Horizont, Modellversion und die damals verfügbaren Daten zu speichern; andernfalls lässt sich ihre Qualität später nicht fair beurteilen.
Zur Modellkontrolle gehört der Vergleich von Prognose und Realisierung über passende Horizonte. Eine Abweichung kann aus einem Regimewechsel, fehlerhaften Inputs oder schlicht aus Stichprobenrauschen stammen. Erst die Attribution des Forecastfehlers erlaubt eine sinnvolle Verbesserung. Den historischen Wert im Nachhinein als damalige Prognose auszugeben wäre Look-ahead Bias.
Typischer Fehler — Eine Volatilität als „niedrig“ zu bezeichnen, ohne Frequenz, Fenster und Bewertungsmethode zu nennen. Vielleicht ist das Risiko gering — vielleicht verbergen es die Daten.
Quellen
- NIST/SEMATECH, Measures of Scale — Engineering Statistics Handbook — Streuungsmaße und Eigenschaften.
- Harry Markowitz, Portfolio Selection (1952) — Varianzen und Kovarianzen im Portfolio.
- William F. Sharpe, The Sharpe Ratio (1994) — Standardabweichung von Differential Returns.
- Andrew W. Lo, The Statistics of Sharpe Ratios (2002) — Autokorrelation und Annualisierungsgrenzen.
- CFA Institute, Portfolio Performance Evaluation — 2026 refresher reading — koordinierte Interpretation von Risiko- und Performancemaßen.