Kovarianz

Die Kovarianz misst, wie zwei Variablen gemeinsam von ihren jeweiligen Mittelwerten abweichen. Sie ist positiv, wenn Abweichungen gleichen Vorzeichens häufig zusammen auftreten, negativ bei gegenläufigen Abweichungen und nahe null, wenn die Stichprobe keine ausgeprägte gemeinsame lineare Bewegung zeigt. Ihr Wert ist nicht standardisiert: Größenordnung und Einheit hängen von den gemessenen Variablen ab.

Im Portfolio verbindet die Kovarianz das Risiko einzelner Komponenten mit dem Risiko des Ganzen. Zwei volatile Instrumente ergeben nicht zwingend ein ebenso volatiles Portfolio, wenn sich ihre Renditen nicht stets gleichgerichtet bewegen. Diese Beziehung ist jedoch eine Schätzung aus Daten, Fenster und Konventionen, keine unveränderliche Eigenschaft von Wertpapieren.

Populationsdefinition und Stichprobenschätzung

Für Zufallsvariablen X und Y mit endlichen Mittelwerten lautet die Populationskovarianz:

Der Erwartungswert bezieht sich auf die theoretische Verteilung. In der Praxis liegt eine Stichprobe aus n zeitlich ausgerichteten Beobachtungen vor. Werden die Mittelwerte aus derselben Stichprobe geschätzt, ist folgende Konvention üblich:

Der Nenner n − 1 kennzeichnet die um Freiheitsgrade korrigierte Stichprobenkovarianz. Manche Bibliotheken, Maximum-Likelihood-Modelle und deskriptiven Auswertungen verwenden n. Ohne Angabe der Konvention ist das Resultat nicht eindeutig interpretierbar. Die Beobachtungen müssen dieselben ökonomischen Intervalle abbilden; europäische Schlussrenditen mit einem abweichenden US-Zeitfenster zu paaren, kann Asynchronität statt Abhängigkeit messen.

Bei Finanzpreisen werden üblicherweise Kovarianzen konsistenter Renditen oder P&L-Änderungen geschätzt, nicht Kovarianzen kumulierter Preisniveaus. Gemeinsame Trends können Scheinkorrelationen erzeugen; einfache Rendite, Log-Rendite und monetärer P&L beantworten zudem unterschiedliche Fragen.

Einheiten: Kovarianz ist nicht Korrelation

Die Kovarianz behält das Produkt der Einheiten. Werden beide Variablen in Prozentpunkten ausgedrückt, lautet die Einheit „Prozentpunkte zum Quadrat“; bei dezimalen Renditen „Dezimalzahl zum Quadrat“. Eine Skalierung verändert den Zahlenwert, auch wenn die ökonomische Beziehung gleich bleibt.

Die Korrelation entfernt die Skala durch Division durch beide Standardabweichungen:

Sind σₓ und σᵧ positiv, ist ρ dimensionslos und liegt zwischen −1 und +1. Bei einer Standardabweichung von null ist die Korrelation nicht definiert, die Kovarianz mit der konstanten Variablen dagegen null. Gleiche Korrelation zweier Paare bedeutet nicht gleiche Kovarianz, denn unterschiedliche Volatilitäten erzeugen andere Risikoskalen.

Beispiel: Zwei Renditen haben Volatilitäten von 10 % und 20 % sowie eine Korrelation von 0,25. In Dezimalschreibweise gilt:

In Prozentpunkten ergibt sich 10 × 20 × 0,25 = 50 Prozentpunkte². Beide Werte beschreiben denselben Fall mit Skalierungsfaktor 10.000. Eine dezimale mit einer prozentualen Volatilität zu mischen, ist ein Einheitenfehler und keine andere Risikoauffassung.

Von der Paarbeziehung zur Kovarianzmatrix

Für p Renditen im Vektor R enthält die Kovarianzmatrix Σ jedes Variablenpaar:

Sie ist symmetrisch, weil Cov(Rᵢ,Rⱼ) = Cov(Rⱼ,Rᵢ). Auf der Diagonale stehen die Varianzen σᵢ², außerhalb die Kovarianzen. Für zwei Assets:

Für einen Gewichtsvektor w ist die Portfoliovarianz in einem konsistenten linearen Modell:

Mit den obigen Daten und Gewichten von 60 % und 40 % folgt:

Die geschätzte Volatilität beträgt damit √0,0124 ≈ 11,14 %. Der Kreuzterm erscheint zweimal, weil die Matrix beide symmetrischen Positionen enthält. Die Formel misst weder maximalen Verlust noch Liquiditätsrisiko oder nichtlineare Payoffs; sie beschreibt die Varianz des gewählten Modells.

Positiv semidefinit bedeutet nicht invertierbar

Eine gültige Kovarianzmatrix ist positiv semidefinit (PSD):

Denn aᵀΣa ist die Varianz der Linearkombination aᵀR und kann nicht negativ sein. PSD bedeutet nicht zwingend positiv definit. Die Matrix kann singulär sein, wenn eine Reihe eine Linearkombination anderer ist, Duplikate vorliegen oder die effektive Zahl der Beobachtungen gegenüber der Variablenzahl zu klein ist. Dann existiert keine gewöhnliche Inverse.

Auch eine invertierbare Matrix kann schlecht konditioniert sein: Kleine Inputänderungen führen dann zu großen Gewichtsänderungen. Ledoit und Wolf schlagen einen Shrinkage-Schätzer vor, der die Stichprobenmatrix mit einem strukturierten Ziel kombiniert, um Fehler und Konditionierung zu verbessern. Shrinkage, Faktormodelle und Regularisierung sind zu dokumentierende Schätzentscheidungen; sie machen Daten nicht „wahr“.

Bei identischer vollständiger Stichprobe und Zentrierung ist eine konsistent konstruierte Stichprobenmatrix bis auf numerische Toleranzen PSD. Paarweiser Ausschluss fehlender Daten kann dagegen je Matrixelement andere Stichproben verwenden und eine indefinite Matrix erzeugen. Ähnliche Probleme entstehen durch grobe Rundung, manuell geänderte Korrelationen, Volatilitäten verschiedener Stichtage oder zusammengeführte Anbieter. Negative Eigenwerte auf null zu setzen verändert die Schätzung und erfordert einen Methodenvermerk.

Daten, Fenster und Annualisierung

Eine reproduzierbare Schätzung nennt Universum, Währung, Renditeart, Frequenz, Kalender, Fenster, Umgang mit fehlenden Daten, Kapitalmaßnahmen, Ausreißern und Schätzverfahren. Für Strategien sind Brutto- oder Netto-P&L, Nominalwert, Sicherheiten und Synchronisierung zu klären. Eine Matrix in Lokalwährungen ist nicht dieselbe wie aus Sicht eines Investors in Basiswährung: FX fügt Varianz und Kovarianzen hinzu.

Kurze Fenster reagieren schneller, enthalten aber weniger Beobachtungen. Lange Fenster reduzieren einen Teil des Stichprobenrauschens, können jedoch unterschiedliche Regime vermischen. Illiquide Renditen und stale Bewertungen dämpfen zeitgleiche Kovarianzen künstlich; Ausreißer und gemeinsame Ereignisse können dominieren. Es gibt keine universell richtige Fensterlänge.

Eine tägliche Kovarianz mit der Zahl der Jahresperioden zu multiplizieren ist nur unter geeigneten Annahmen zur Zeitaggregation konsistent, darunter fehlende Lead-Lag-Kovarianzen. Allgemein enthält die Kovarianz aggregierter Renditen auch zeitversetzte Terme. Serialität, Asynchronität und Autokorrelation machen die lineare Annualisierung daher zu einer Modellannahme, nicht zu einer Identität.

Interpretationsgrenzen und Kontrollen

Kovarianz misst lineare Abhängigkeit zweiter Ordnung. Sie belegt keine Kausalität, bedeutet bei null nicht zwingend Unabhängigkeit und beschreibt nichtlineare, asymmetrische oder Tail-Abhängigkeiten nicht vollständig. Gerade in Stressphasen kann sie sich ändern. Eine einzelne historische Matrix enthält keine Gaps, Defaults, Liquidität, Market Impact, Margin Calls oder Geschäftsmodellbrüche.

Vor der Nutzung sind mindestens folgende Kontrollen sinnvoll:

1. Einheiten, Währung, Zeitstempel und Renditedefinition abstimmen;
2. effektive Stichprobengröße und Regel für fehlende Daten berichten;
3. Symmetrie, Diagonale, Eigenwerte und Konditionierung prüfen;
4. Fenster, Frequenzen und alternative Schätzer vergleichen;
5. bei Bedarf Stressszenarien und nichtlineare Abhängigkeitsmaße ergänzen;
6. Daten, Code, Parameter und Schätzdatum aufbewahren;
7. deskriptive Schätzung, Prognoseinput und Portfolioentscheidung trennen.

Michaud zeigt, wie Optimierung Inputfehler verstärken kann; DeMiguel, Garlappi und Uppal untersuchen out of sample die Schwierigkeit, komplexe Schätzungen in robuste Vorteile zu übersetzen. Daraus folgt kein stets überlegener Schätzer, sondern die Pflicht zu anwendungsbezogener Robustheits-, Kosten- und Out-of-sample-Prüfung.

Quellen

• Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — ursprüngliche Portfolioauswahl mittels erwarteter Rendite, Varianzen und Kovarianzen.
• National Institute of Standards and Technology, Correlation — Dataplot Reference Manual — Definition des standardisierten Koeffizienten und Beziehung zwischen Kovarianz, Standardabweichungen und Korrelation.
• Olivier Ledoit und Michael Wolf, A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices, Journal of Multivariate Analysis (2004) — Originalarbeit zu Shrinkage und Konditionierung großer Matrizen.
• Richard O. Michaud, The Markowitz Optimization Enigma: Is “Optimized” Optimal?, Financial Analysts Journal (1989) — Wirkung von Schätzfehlern auf Optimierungsergebnisse.
• Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi und Raman Uppal, Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?, Review of Financial Studies (2009) — Out-of-sample-Vergleich von Allokationsregeln und Schätzprobleme.

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