Covariância

A covariância mede como duas variáveis se afastam conjuntamente de suas respectivas médias. É positiva quando desvios com o mesmo sinal tendem a ocorrer juntos, negativa quando um desvio positivo tende a acompanhar um desvio negativo e próxima de zero quando a amostra não revela movimento linear conjunto relevante. O valor não é padronizado: sua magnitude e unidade dependem das variáveis medidas.

Na carteira, a covariância liga o risco de cada componente ao risco do conjunto. Dois instrumentos voláteis não produzem necessariamente uma carteira igualmente volátil se seus retornos não se moverem sempre na mesma direção. Essa relação, porém, é estimada a partir de dados, janela e convenções; não é uma propriedade imutável dos ativos.

Definição populacional e estimativa amostral

Para duas variáveis aleatórias X e Y com médias finitas, a covariância populacional é:

O operador de esperança se refere à distribuição teórica. Na prática, há uma amostra de n observações alinhadas. Quando as médias são estimadas na mesma amostra, uma convenção comum é:

O denominador n − 1 identifica a covariância amostral corrigida pelos graus de liberdade; algumas bibliotecas, estimadores de máxima verossimilhança e estatísticas descritivas usam n. Nenhum resultado é plenamente interpretável sem a convenção aplicada. As observações devem cobrir os mesmos intervalos econômicos: combinar o fechamento europeu com um retorno americano medido em outra janela pode introduzir assincronia, e não dependência.

Em finanças, normalmente se estimam covariâncias entre retornos ou variações coerentes de P&L, e não entre níveis cumulativos de preço. Séries de nível com tendências comuns podem produzir relações espúrias. Retornos simples, logarítmicos e P&L monetário também respondem a perguntas diferentes.

Unidade: por que covariância e correlação não são sinônimos

A covariância conserva o produto das unidades das duas variáveis. Se X e Y forem expressos em pontos percentuais, a unidade será “pontos percentuais ao quadrado”. Se ambos os retornos forem decimais, a unidade será “decimal ao quadrado”. Mudar a escala multiplica o número mesmo quando a relação econômica permanece idêntica.

A correlação elimina essa escala dividindo pelas desvios-padrão:

Quando σₓ e σᵧ são positivos, ρ é adimensional e varia de −1 a +1. Se um desvio-padrão for zero, a correlação não estará definida, embora a covariância com a variável constante seja zero. Correlação igual em dois pares não implica covariância igual: volatilidades diferentes produzem escalas de risco diferentes.

Exemplo: dois retornos têm volatilidades de 10% e 20% e correlação de 0,25. Em notação decimal, a covariância é:

Em pontos percentuais, torna-se 10 × 20 × 0,25 = 50 pontos percentuais². Os números descrevem o mesmo caso, com fator de escala 10.000. Misturar uma volatilidade decimal com outra percentual é erro de unidade, não uma opinião diferente sobre o risco.

Do par à matriz de covariância

Para p retornos reunidos no vetor R, a matriz de covariância Σ contém um elemento para cada par:

A matriz é simétrica porque Cov(Rᵢ,Rⱼ) = Cov(Rⱼ,Rᵢ). Na diagonal ficam as variâncias σᵢ²; fora dela, as covariâncias. Com dois ativos:

Para um vetor de pesos w, em um modelo linear coerente, a variância da carteira é:

Com volatilidades de 10% e 20%, covariância de 0,005 e pesos de 60% e 40%:

A volatilidade estimada é √0,0124 ≈ 11,14%. A fórmula inclui duas vezes o termo cruzado porque a forma matricial contém as duas posições simétricas. Ela não mede perda máxima, risco de liquidez ou payoff não linear: descreve a variância do modelo escolhido.

Semidefinida positiva não significa invertível

Uma matriz de covariância válida é semidefinida positiva (PSD):

A razão é matemática e econômica: aᵀΣa é a variância da combinação linear aᵀR, que não pode ser negativa. PSD não significa necessariamente definida positiva. A matriz pode ser singular quando uma série é combinação linear das demais, quando há duplicatas ou quando o número efetivo de observações é insuficiente diante do número de variáveis. Nesse caso, a inversa comum não existe.

Mesmo uma matriz invertível pode estar mal condicionada: pequenas mudanças nos insumos podem gerar grandes alterações nos pesos de uma otimização. Ledoit e Wolf propõem um estimador por shrinkage que combina a matriz amostral com um alvo estruturado para reduzir erro e melhorar condicionamento. Shrinkage, modelos fatoriais e regularização são escolhas de estimação que devem ser documentadas, não reparos que tornam os dados “verdadeiros”.

Se todas as séries usarem a mesma amostra completa e a mesma centralização, a matriz amostral construída de forma coerente será PSD, salvo tolerâncias numéricas. Uma matriz montada por exclusão aos pares de dados ausentes pode usar amostras diferentes em cada elemento e se tornar indefinida. O mesmo pode ocorrer por arredondamento agressivo, correlações editadas manualmente, volatilidades de datas diferentes ou fusão de fornecedores. Forçar autovalores negativos a zero muda a estimativa e exige registro metodológico.

Efeito dos dados, da janela e da anualização

Uma estimativa reproduzível declara ao menos universo, moeda, tipo de retorno, frequência, calendário, janela, tratamento dos dados ausentes, eventos societários, outliers e método. Para estratégias, é preciso esclarecer P&L bruto ou líquido, nocional, garantias e sincronização. Uma matriz em moeda local não é a mesma vista por um investidor em moeda-base: o câmbio acrescenta variância e covariâncias.

Janela curta traz maior reatividade, mas menos observações; janela longa reduz parte do ruído amostral, porém pode misturar regimes diferentes. Retornos de ativos ilíquidos ou avaliações defasadas podem reduzir artificialmente as covariâncias contemporâneas. Outliers e eventos comuns podem dominá-las. Não há duração universal: a escolha depende do horizonte da decisão e deve passar por análise de sensibilidade.

Multiplicar a covariância diária pelo número de períodos anuais só é coerente sob hipóteses adequadas de agregação temporal, inclusive ausência de covariâncias cruzadas nas defasagens relevantes. Em geral, a covariância dos retornos agregados também inclui termos de liderança e defasagem. Serialidade, assincronia e autocorrelação tornam a anualização linear uma escolha de modelo, não uma identidade universal.

Limites de interpretação e controles

A covariância mede dependência linear de segundo momento. Não demonstra causalidade, não equivale a independência quando vale zero e não descreve sozinha relações não lineares, assimetrias ou dependência nas caudas. Pode mudar em períodos de estresse justamente quando a diversificação é mais necessária. Uma única matriz histórica não contém gaps, inadimplência, liquidez, impacto, chamadas de margem ou mudanças do modelo de negócios.

Antes de usá-la na construção ou no controle da carteira, convém:

1. conciliar unidades, moeda, timestamps e definição dos retornos;
2. informar o tamanho efetivo da amostra e a regra para dados ausentes;
3. verificar simetria, diagonal, autovalores e condicionamento numérico;
4. comparar janelas, frequências e estimadores alternativos;
5. acrescentar cenários de estresse e medidas de dependência não linear quando pertinentes;
6. conservar dados, código, parâmetros e data da estimação;
7. separar estimação descritiva, insumo preditivo e decisão de carteira.

Michaud mostra como o erro nos insumos pode ser amplificado pela otimização; DeMiguel, Garlappi e Uppal avaliam fora da amostra a dificuldade de transformar estimativas complexas em benefícios confiáveis. Esses resultados não elegem um estimador sempre superior: exigem comparação fora da amostra, custos e robustez coerentes com o uso.

Fontes

• Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — formulação original da seleção de carteira por retorno esperado, variâncias e covariâncias.
• National Institute of Standards and Technology, Correlation — Dataplot Reference Manual — definição oficial do coeficiente padronizado e relação entre covariância, desvios-padrão e correlação.
• Olivier Ledoit e Michael Wolf, A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices, Journal of Multivariate Analysis (2004) — artigo original sobre shrinkage e condicionamento de matrizes de alta dimensão.
• Richard O. Michaud, The Markowitz Optimization Enigma: Is “Optimized” Optimal?, Financial Analysts Journal (1989) — efeito do erro de estimação nos resultados da otimização.
• Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi e Raman Uppal, Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?, Review of Financial Studies (2009) — comparação fora da amostra entre regras de alocação e dificuldade de estimação.

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