Covarianza

A quién va dirigido — A quien necesite leer una matriz de riesgo, calcular la varianza de una cartera o diferenciar una dependencia expresada en las unidades originales de la correlación estandarizada.

La covarianza mide cómo se desvían conjuntamente dos variables respecto de sus medias. Es positiva cuando las desviaciones del mismo signo tienden a coincidir, negativa cuando una desviación positiva suele acompañar a otra negativa y cercana a cero cuando la muestra no revela un movimiento lineal conjunto relevante. No está estandarizada: su magnitud y sus unidades dependen de las variables medidas.

En una cartera conecta el riesgo de cada componente con el riesgo del conjunto. Dos instrumentos volátiles no generan necesariamente una cartera igual de volátil si sus rendimientos no se mueven siempre en la misma dirección. Pero esa relación procede de datos, ventanas y convenciones de estimación; no es una propiedad inmutable de los activos.

La diagonal mide el riesgo propio y los elementos externos el movimiento lineal conjunto. Los pesos y toda la matriz determinan la varianza estimada de la cartera.

Población y estimación muestral

Para dos variables aleatorias X e Y con medias finitas, la covarianza poblacional es:

Cov(X,Y) = E[(X − μₓ)(Y − μᵧ)]

Con n observaciones alineadas y medias estimadas en la misma muestra, una convención habitual es:

sₓᵧ = [1 / (n − 1)] × ∑ₜ₌₁ⁿ (xₜ − x̄)(yₜ − ȳ)

El denominador n−1 corrige los grados de libertad. Algunas bibliotecas y estimadores de máxima verosimilitud usan n. Ningún resultado es reproducible si se desconoce la convención. Las observaciones deben representar los mismos intervalos económicos: emparejar el cierre europeo con una ventana estadounidense distinta puede introducir asincronía, no dependencia.

En finanzas se estiman normalmente covarianzas entre rendimientos o cambios de P&L coherentes, no entre niveles acumulativos de precios. Los niveles con tendencias comunes pueden crear relaciones espurias; rendimientos simples, logarítmicos y P&L monetarios responden además a preguntas distintas.

Unidades: covarianza y correlación no son sinónimos

La covarianza conserva el producto de las unidades. Si ambas variables se expresan en puntos porcentuales, la unidad es puntos porcentuales al cuadrado; si son rendimientos decimales, decimales al cuadrado. Un cambio de escala multiplica la cifra aunque la relación económica sea idéntica.

La correlación elimina la escala dividiendo entre las desviaciones estándar:

ρₓᵧ = Cov(X,Y) / (σₓ × σᵧ)

Con desviaciones estándar positivas, ρ no tiene unidades y se sitúa entre −1 y +1. Si una desviación es cero, la correlación no está definida, mientras que la covarianza con una variable constante es cero. La misma correlación en dos pares no implica la misma covarianza si sus volatilidades son distintas.

Ejemplo: volatilidades del 10 % y 20 % con correlación 0,25 producen, en notación decimal:

0,10 × 0,20 × 0,25 = 0,005 decimales²

En puntos porcentuales, 10 × 20 × 0,25 = 50 puntos porcentuales². Ambos números describen el mismo caso con un factor de escala de 10.000.

De una pareja a la matriz de covarianza

Para p rendimientos reunidos en el vector R, la matriz Σ contiene:

Σᵢⱼ = Cov(Rᵢ,Rⱼ)

Es simétrica porque Cov(Rᵢ,Rⱼ)=Cov(Rⱼ,Rᵢ). La diagonal contiene las varianzas σᵢ² y el resto, las covarianzas. Con dos activos:

Σ = (σ₁², σ₁₂; σ₁₂, σ₂²)

Para un vector de pesos w, bajo un modelo lineal coherente:

σₚ² = wᵀΣw

Con los datos anteriores y pesos del 60 % y 40 %:

σₚ² = 0,60²×0,10² + 0,40²×0,20² + 2×0,60×0,40×0,005 = 0,0124

La volatilidad estimada es √0,0124 ≈ 11,14%. La fórmula no mide pérdida máxima, liquidez ni payoffs no lineales; describe la varianza dentro del modelo elegido.

Semidefinida positiva no significa invertible

Una matriz de covarianza válida es semidefinida positiva (PSD):

aᵀΣa ≥ 0 para todo vector a

La expresión es una varianza y no puede ser negativa. PSD no implica definida positiva: la matriz puede ser singular por series duplicadas, combinaciones lineales o insuficiencia de observaciones. Entonces no existe inversa ordinaria. Incluso una matriz invertible puede estar mal condicionada, de modo que pequeños cambios de input provoquen grandes cambios en los pesos.

Ledoit y Wolf proponen un estimador de shrinkage que combina la matriz muestral con un objetivo estructurado para reducir error y mejorar el condicionamiento. Shrinkage, modelos factoriales y regularización son decisiones metodológicas; no convierten los datos en «verdaderos».

Si todas las series usan la misma muestra y centrado, la matriz muestral será PSD salvo tolerancias numéricas. La eliminación por parejas de datos ausentes puede construir cada elemento con muestras distintas y producir una matriz indefinida. También pueden causarlo redondeos agresivos, correlaciones editadas a mano o volatilidades de fechas distintas. Ajustar autovalores cambia la estimación y debe quedar registrado.

Datos, ventana y anualización

Una estimación reproducible declara universo, divisa, tipo de rendimiento, frecuencia, calendario, ventana, datos ausentes, acciones corporativas, outliers y método. Para estrategias también se especifican P&L bruto o neto, notional, colateral y sincronización. La matriz en moneda local no coincide con la vista del inversor en moneda base, porque el cambio añade varianza y covarianzas.

Una ventana corta reacciona más pero contiene menos observaciones; una larga reduce parte del ruido y puede mezclar regímenes. Precios obsoletos o activos ilíquidos pueden suavizar artificialmente las covarianzas. No existe una duración universal: debe ajustarse al horizonte y someterse a sensibilidad.

Multiplicar una covarianza diaria por los periodos anuales solo es coherente bajo supuestos sobre agregación temporal. En general, los rendimientos agregados incluyen términos lead-lag. Serialidad y asincronía convierten la anualización lineal en una decisión de modelo, no en una identidad.

Límites y controles

La covarianza mide dependencia lineal de segundo momento. No demuestra causalidad, covarianza cero no implica independencia y no describe por sí sola asimetrías, relaciones no lineales o dependencia de cola. Puede cambiar durante una crisis precisamente cuando más se necesita la diversificación.

Antes de utilizarla conviene reconciliar unidades, divisa y timestamps; publicar tamaño efectivo de muestra; comprobar simetría, diagonal, autovalores y condicionamiento; comparar ventanas y estimadores; añadir estrés cuando sea pertinente; conservar datos, código y parámetros; y separar descripción histórica, forecast y decisión de cartera.

Error habitual — Leer una matriz sin unidades o construida con muestras distintas y tratarla como una predicción estable. PSD, invertibilidad y precisión son propiedades diferentes; no existe un umbral universal de covarianza «buena».

Fuentes

Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — formulación original mediante rendimientos esperados, varianzas y covarianzas.
National Institute of Standards and Technology, Correlation — Dataplot Reference Manual — definición del coeficiente estandarizado y relación entre covarianza, desviaciones y correlación.
Olivier Ledoit y Michael Wolf, A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices, Journal of Multivariate Analysis (2004) — artículo original sobre shrinkage y condicionamiento.
Richard O. Michaud, The Markowitz Optimization Enigma: Is “Optimized” Optimal?, Financial Analysts Journal (1989) — amplificación del error de estimación.
Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi y Raman Uppal, Optimal Versus Naive Diversification, Review of Financial Studies (2009) — comparación fuera de muestra entre reglas de asignación.