Covariance

La covariance mesure la manière dont deux variables s’écartent conjointement de leurs moyennes respectives. Elle est positive lorsque des écarts de même signe tendent à survenir ensemble, négative lorsqu’un écart positif tend à accompagner un écart négatif, et proche de zéro lorsqu’aucun mouvement linéaire conjoint significatif ne ressort de l’échantillon. Sa valeur n’est pas standardisée : sa grandeur et son unité dépendent des variables mesurées.

Dans un portefeuille, la covariance relie le risque de chaque composante au risque de l’ensemble. Deux instruments volatils ne forment pas nécessairement un portefeuille tout aussi volatil si leurs rendements ne se déplacent pas toujours dans la même direction. Cette relation est toutefois estimée à partir de données, d’une fenêtre et de conventions ; elle n’est pas une propriété immuable des symboles financiers.

Définition dans la population et estimation empirique

Pour deux variables aléatoires X et Y ayant des moyennes finies, la covariance dans la population est :

L’opérateur d’espérance porte sur la distribution théorique. En pratique, on dispose d’un échantillon de n observations alignées. Lorsque les moyennes sont estimées sur ce même échantillon, une convention courante est :

Le dénominateur n − 1 caractérise la covariance empirique corrigée des degrés de liberté ; certaines bibliothèques, certains modèles de maximum de vraisemblance et certaines statistiques descriptives utilisent plutôt n. Aucun résultat n’est interprétable sans connaître la convention appliquée. Les observations doivent concerner les mêmes intervalles économiques : juxtaposer le rendement de clôture européen à un rendement américain calculé sur une autre fenêtre peut introduire de l’asynchronisme au lieu de mesurer une dépendance.

Pour les prix financiers, les covariances sont normalement estimées entre des rendements ou des variations cohérentes de P&L, et non entre des niveaux de prix cumulés. Des niveaux suivant des tendances communes peuvent créer des relations fallacieuses ; rendements simples, rendements logarithmiques et P&L monétaires répondent en outre à des questions différentes.

Unités : covariance et corrélation ne sont pas synonymes

La covariance conserve le produit des unités des deux variables. Si X et Y sont exprimés en points de pourcentage, l’unité est le « point de pourcentage au carré ». Si les deux rendements sont exprimés en décimales, elle est la « décimale au carré ». Un changement d’échelle multiplie la valeur numérique même lorsque la relation économique reste identique.

La corrélation élimine cette échelle en divisant par les écarts-types :

Lorsque σₓ et σᵧ sont positifs, ρ est sans dimension et compris entre −1 et +1. Si l’un des écarts-types est nul, la corrélation n’est pas définie, tandis que la covariance avec la variable constante vaut zéro. Une même corrélation observée sur deux paires n’implique pas la même covariance : des volatilités différentes produisent des échelles de risque différentes.

Exemple : deux rendements ont des volatilités de 10 % et 20 % et une corrélation de 0,25. En notation décimale, la covariance est :

Exprimée en points de pourcentage, elle devient 10 × 20 × 0,25 = 50 points de pourcentage². Les deux nombres décrivent le même cas avec un facteur d’échelle de 10 000. Mélanger une volatilité décimale et une volatilité en pourcentage constitue une erreur d’unité, et non une appréciation différente du risque.

De la paire à la matrice de covariance

Pour p rendements réunis dans le vecteur R, la matrice de covariance Σ contient un élément pour chaque paire :

La matrice est symétrique car Cov(Rᵢ,Rⱼ) = Cov(Rⱼ,Rᵢ). Sa diagonale contient les variances σᵢ² et ses éléments hors diagonale, les covariances. Avec deux actifs :

Pour un vecteur de pondérations w, dans un modèle linéaire cohérent, la variance du portefeuille est :

Avec les données de l’exemple et des pondérations de 60 % et 40 %, on obtient :

La volatilité estimée est donc √0,0124 ≈ 11,14%. La formule compte deux fois le terme croisé, car les deux positions symétriques figurent dans la forme matricielle. Elle ne mesure ni perte maximale, ni risque de liquidité, ni profil de gain non linéaire : elle décrit la variance du modèle retenu.

Semi-définie positive ne signifie pas inversible

Une matrice de covariance valide est semi-définie positive (PSD) :

La raison est économique et mathématique : aᵀΣa est la variance de la combinaison linéaire aᵀR, qui ne peut être négative. Être PSD ne signifie pas nécessairement être définie positive. Une matrice peut être singulière lorsqu’une série est une combinaison linéaire des autres, en présence de doublons ou lorsque le nombre effectif d’observations est insuffisant par rapport au nombre de variables. L’inverse ordinaire n’existe alors pas.

Même une matrice inversible peut être mal conditionnée : de faibles variations des entrées peuvent entraîner de fortes variations des pondérations d’une optimisation. L’article de Ledoit et Wolf propose un estimateur par rétrécissement (shrinkage) qui combine la matrice empirique avec une cible structurée pour réduire l’erreur et améliorer le conditionnement. Shrinkage, modèles factoriels et régularisation sont des choix d’estimation à documenter, et non des réparations qui rendraient les données « vraies ».

Si toutes les séries emploient le même échantillon complet et le même centrage, la matrice empirique construite de façon cohérente est PSD, aux tolérances numériques près. Une matrice assemblée par suppression par paires des données manquantes peut en revanche employer un échantillon différent pour chaque élément et devenir indéfinie. Le même problème peut résulter d’arrondis excessifs, de corrélations modifiées à la main, de volatilités relevées à des dates différentes ou de la fusion de plusieurs fournisseurs. Forcer les valeurs propres négatives à zéro modifie l’estimation et exige une trace méthodologique.

Effets des données, de la fenêtre et de l’annualisation

Une estimation reproductible déclare au minimum l’univers, la devise, le type de rendement, la fréquence, le calendrier, la fenêtre, le traitement des données manquantes, des opérations sur titres et des valeurs aberrantes, ainsi que la méthode. Pour les stratégies, il faut préciser si le P&L est brut ou net, le notionnel, les garanties et la synchronisation. Une matrice en devises locales n’est pas celle que voit l’investisseur dans sa devise de référence : le change ajoute variance et covariances.

Une fenêtre courte offre davantage de réactivité mais moins d’observations ; une fenêtre longue réduit une partie du bruit d’échantillonnage mais peut mêler plusieurs régimes. Des rendements illiquides ou des valorisations périmées peuvent artificiellement atténuer les covariances contemporaines. Les valeurs aberrantes et événements communs peuvent les dominer. Il n’existe pas de durée universelle : le choix dépend de l’horizon de décision et doit faire l’objet d’une analyse de sensibilité.

Multiplier une covariance quotidienne par le nombre de périodes annuelles n’est cohérent que sous des hypothèses appropriées d’agrégation temporelle, notamment l’absence de covariances croisées aux retards pertinents. En général, la covariance des rendements agrégés comprend aussi des termes avance-retard. Sérialité, asynchronisme et autocorrélation font donc de l’annualisation linéaire un choix de modèle, et non une identité universelle.

Limites d’interprétation et contrôles

La covariance mesure une dépendance linéaire de second moment. Elle ne démontre pas la causalité, n’équivaut pas à l’indépendance lorsqu’elle vaut zéro et ne décrit pas seule les relations non linéaires, les asymétries ou la dépendance dans les queues. Elle peut changer en période de stress, précisément lorsque la diversification est la plus nécessaire. Une matrice historique unique ne contient ni gaps, ni défauts, ni liquidité, ni impact, ni appels de marge, ni changements de modèle économique.

Avant de l’employer pour construire ou contrôler un portefeuille, il convient de :

1. rapprocher les unités, devises, horodatages et définitions des rendements ;
2. indiquer la taille effective de l’échantillon et la règle appliquée aux données manquantes ;
3. vérifier la symétrie, la diagonale, les valeurs propres et le conditionnement numérique ;
4. comparer plusieurs fenêtres, fréquences et estimateurs ;
5. ajouter des scénarios de stress et, si nécessaire, des mesures de dépendance non linéaire ;
6. conserver les données, le code, les paramètres et la date de l’estimation ;
7. distinguer l’estimation descriptive, l’entrée prévisionnelle et la décision de portefeuille.

Michaud montre comment l’optimisation peut amplifier l’erreur des entrées ; DeMiguel, Garlappi et Uppal évaluent hors échantillon la difficulté de convertir des estimations complexes en gains fiables. Ces résultats ne désignent pas un estimateur toujours supérieur : ils imposent des comparaisons hors échantillon, des coûts et une robustesse adaptés au cas d’usage.

Sources

• Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — formulation initiale de la sélection de portefeuille au moyen des rendements attendus, variances et covariances.
• National Institute of Standards and Technology, Correlation — Dataplot Reference Manual — définition officielle du coefficient standardisé et relation entre covariance, écarts-types et corrélation.
• Olivier Ledoit et Michael Wolf, A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices, Journal of Multivariate Analysis (2004) — article original sur le shrinkage et le conditionnement des matrices de grande dimension.
• Richard O. Michaud, The Markowitz Optimization Enigma: Is “Optimized” Optimal?, Financial Analysts Journal (1989) — effet de l’erreur d’estimation sur les résultats de l’optimisation.
• Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi et Raman Uppal, Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?, Review of Financial Studies (2009) — comparaison hors échantillon de règles d’allocation et difficulté de l’estimation.

Liens

• Construction de portefeuille et performance
• Corrélation
• Construction de portefeuille
• Optimisation moyenne-variance et frontière efficiente