Desvio-padrão dos retornos

O desvio-padrão mede a dispersão de uma série em torno da média e é expresso na mesma unidade da variável. Aplicado a retornos periódicos, costuma ser chamado de volatilidade histórica. É a raiz quadrada da variância; não mede diretamente perda máxima, liquidez, risco de inadimplência ou dependência nas caudas.

Um desvio-padrão não é interpretável sem conhecer série, frequência, janela, moeda, tipo de retorno e convenção estatística. A dispersão dos retornos diários não é diretamente comparável à dos mensais; uma série líquida de custos não é igual a uma bruta; retornos suavizados por avaliações pouco frequentes podem mostrar volatilidade artificialmente baixa.

População, amostra e retornos

Para N observações rₜ e média aritmética r̄, o desvio-padrão descritivo da população é:

Quando as observações são tratadas como amostra de uma população maior, uma estimativa comum usa N−1 no denominador:

As fórmulas correspondem a convenções diferentes. Com poucos dados, a diferença pode ser relevante. Softwares e provedores nem sempre adotam o mesmo padrão; um relatório reproduzível declara a convenção.

Para uma carteira, calcula-se o desvio-padrão da série de retornos da carteira ou, ex ante, por meio dos pesos e da matriz de covariância:

A segunda é uma estimativa modelada a partir de parâmetros; a primeira descreve uma história observada. Ambas não devem ser rotuladas simplesmente como “risco” sem indicar natureza e data.

Retornos simples, logarítmicos e total return

A escolha da série vem antes do cálculo:

• retornos simples são encadeados geometricamente e representam a variação percentual entre dois valores;
• log-retornos são aditivos no tempo para valores positivos, mas em geral não se somam entre ativos para formar o retorno da carteira;
• price return exclui proventos, enquanto total return inclui dividendos ou cupons segundo uma convenção;
• retornos em moeda local e em moeda-base incorporam riscos diferentes;
• retornos brutos e líquidos têm distribuições diferentes quando custos ou taxas variam ao longo do tempo.

Usar níveis de preço não estacionários no lugar de retornos pode produzir uma medida sem o significado pretendido.

Anualização: quando vale a raiz do tempo

Uma prática comum anualiza o desvio-padrão periódico multiplicando-o pela raiz do número de períodos:

Com dados mensais, m pode ser 12; com dados diários, o número depende do calendário e da série. Essa relação exige hipóteses sobre a escala da variância, muitas vezes formuladas como retornos sem autocorrelação e com distribuição estável. Autocorrelação, volatilidade variável, dados ausentes, suavização ou mercados abertos 24 horas podem tornar a aproximação enganosa.

Andrew Lo mostra que regras mensais usuais para anualizar o índice de Sharpe podem falhar quando existe correlação serial; o mesmo problema nasce do desvio-padrão no denominador. Escrever “252” ou “365” sem descrever o calendário não torna o resultado comparável.

O que captura e o que não captura

O desvio-padrão dá o mesmo peso quadrático aos desvios acima e abaixo da média. Essa simetria pode ser adequada quando toda surpresa torna o resultado menos previsível; pode ser pouco alinhada ao investidor que distingue ganhos inesperados de perdas. O índice de Sortino troca a volatilidade total por uma downside deviation em relação a uma meta, mas introduz outras convenções.

Além disso, o desvio-padrão:

• não identifica a forma das caudas;
• não descreve a ordem temporal dos retornos;
• não distingue uma perda gradual de um gap;
• pode ser instável entre regimes;
• pode ser subestimado por preços defasados ou modelos de avaliação;
• não é uma previsão certa da dispersão futura.

Por isso, deve ser acompanhado por distribuição, drawdown, cenários, liquidez e qualidade dos dados.

Exemplo reproduzível

Cinco retornos percentuais hipotéticos são 1, −1, 2, 0, −2. A média é zero. A soma dos desvios ao quadrado é 1 + 1 + 4 + 0 + 4 = 10.

• desvio descritivo com N: √(10/5) ≈ 1,414%;
• estimativa amostral com N−1: √(10/4) ≈ 1,581%.

Os dois resultados podem estar corretos conforme a convenção. A amostra é pequena demais para uma conclusão operacional, e o exemplo não prescreve limiares.

Lista de verificação para comparações

Antes de comparar dois valores, confira:

1. mesma frequência e intervalo;
2. mesmo calendário e tratamento dos dados ausentes;
3. mesma moeda e política cambial;
4. retornos simples ou logarítmicos;
5. price ou total return;
6. bruto ou líquido e custos incluídos;
7. amostra ou população;
8. janela expansiva ou móvel;
9. anualização e suas hipóteses;
10. natureza ex ante ou ex post.

Fontes

• NIST/SEMATECH, Measures of Scale — Engineering Statistics Handbook — definições e propriedades das medidas de dispersão.
• Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance (1952) — papel de variâncias e covariâncias na carteira.
• William F. Sharpe, The Sharpe Ratio, The Journal of Portfolio Management (1994) — uso do desvio-padrão dos differential returns e convenções ex ante e ex post.
• Andrew W. Lo, The Statistics of Sharpe Ratios, Financial Analysts Journal (2002) — amostragem, autocorrelação e limites da anualização.
• CFA Institute, Portfolio Performance Evaluation — 2026 refresher reading — uso conjunto e limites das medidas de risco e desempenho.

Entradas relacionadas

• Construção de carteira e performance
• Correlação
• Índice de Sharpe
• Drawdown máximo